Considere dois corpos distintos cujas trajetórias são descritas respectivamente pelos vetores posição
e
Mostre que esses corpos percorrem a mesma trajetória mas, enquanto o primeiro possui a velocidade constante, em norma, o segundo não.
Passo 1
O enunciado nos dá duas curvas em
,
e pede para mostrar que elas descrevem o mesmo lugar geométrico (trajetória) e que a velocidade do primeiro tem norma constante, enquanto a do segundo não. Vamos usar eliminação de parâmetro para comparar os dois conjuntos de pontos e depois calcular
e
.
Passo 2
Mostrando que a trajetória é a mesma linha reta:
- Para
e substituindo
em
dá
Assim os pontos de
satisfazem
- Para
.
- Da componente: , isto é
- Da componente
:
Portanto
também satisfaz
Como ambos geram o mesmo sistema de equações, percorrem a mesma linha reta no espaço.
Passo 3
Calculando as velocidades e suas normas:
- Para
:
A norma é
que é constante (independe de
).
- Para
:
A norma é
que depende de
e, portanto, não é constante.
Resposta
As duas parametrizações geram a mesma linha reta definida por
ou seja, percorrem a mesma trajetória.
Além disso, é constante, enquanto
varia com
, logo o segundo não tem velocidade de norma constante.
Além disso,