Considere dois corpos distintos cujas trajetórias são descritas respectivamente pelos vetores posição \vec{r}_{1}(t) e \vec{r}_{2}(t)
\begin{aligned} & \overrightarrow{r_{1}}(t)=(3+2 t) \vec{i}+t \vec{j}+(1-t) \vec{k}, \\\ & \overrightarrow{r_{2}}(t)=\left(5-2 t^{3}\right) \vec{i}+\left(1-t^{3}\right) \vec{j}+t^{3} \vec{k} \end{aligned}
Mostre que esses corpos percorrem a mesma trajetória mas, enquanto o primeiro possui a velocidade constante, em norma, o segundo não.

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas em \mathbb{R}^3,
\vec{r}_1(t) = (3+2t)\,\vec{i} + t\,\vec{j} + (1-t)\,\vec{k},
\vec{r}_2(t) = \bigl(5-2t^3\bigr)\,\vec{i} + \bigl(1-t^3\bigr)\,\vec{j} + t^3\,\vec{k},
e pede para mostrar que elas descrevem o mesmo lugar geométrico (trajetória) e que a velocidade do primeiro tem norma constante, enquanto a do segundo não. Vamos usar eliminação de parâmetro para comparar os dois conjuntos de pontos e depois calcular \vec{v}_1=\frac{d\vec{r}_1}{dt} e \vec{v}_2=\frac{d\vec{r}_2}{dt}.

Passo 2

Mostrando que a trajetória é a mesma linha reta:
  1. Para \vec{r}_1(t)\): - Da componente \(x\) temos \(x = 3 + 2t\), logo \(t = \tfrac{x-3}{2}\). - Da componente \(y\) obtemos \(y = t\). - Da componente \(z\) vem \(z = 1 - t\). Substituindo \(t=y\) em \(z\) dá \[z = 1 - y
e substituindo y em x
x = 3 + 2y.
Assim os pontos de \vec{r}_1 satisfazem
\begin{cases} z + y = 1,\\\ x - 3 = 2y. \end{cases}
  1. Para \vec{r}_2(t)\]: - Note que \(t^3 = z.
    - Da componente y: y = 1 - t^3 = 1 - z, isto é
z + y = 1.
  • Da componente x:
x = 5 - 2t^3 = 5 - 2z \quad\Longrightarrow\quad x - 3 = 2(1 - z) = 2y.
Portanto \vec{r}_2 também satisfaz
\begin{cases} z + y = 1,\\\ x - 3 = 2y. \end{cases}
Como ambos geram o mesmo sistema de equações, percorrem a mesma linha reta no espaço.

Passo 3

Calculando as velocidades e suas normas:
  1. Para \vec{r}_1(t):
\vec{v}_1(t) = \frac{d\vec{r}_1}{dt} = 2\,\vec{i} + 1\,\vec{j} -1\,\vec{k}.
A norma é
\|\vec{v}_1\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6},
que é constante (independe de t).
  1. Para \vec{r}_2(t):
\vec{v}_2(t) = \frac{d\vec{r}_2}{dt} = -6t^2\,\vec{i} -3t^2\,\vec{j} +3t^2\,\vec{k}.
A norma é
\|\vec{v}_2(t)\| = \sqrt{(-6t^2)^2 + (-3t^2)^2 + (3t^2)^2} = \sqrt{36t^4 + 9t^4 + 9t^4} = \sqrt{54\,t^4} = 3\sqrt{6}\;|t^2| = 3\sqrt{6}\;t^2,
que depende de t e, portanto, não é constante.

Resposta

As duas parametrizações geram a mesma linha reta definida por
\begin{cases} z + y = 1,\\\ x - 3 = 2y, \end{cases}
ou seja, percorrem a mesma trajetória.
Além disso, \|\vec{v}_1\|=\sqrt{6} é constante, enquanto \|\vec{v}_2(t)\|=3\sqrt{6}\,t^2 varia com t, logo o segundo não tem velocidade de norma constante.

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