Em um determinado instante t^{*}, um corpo possui vetor velocidade dado por \vec{v}=2 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k} e vetor aceleração \vec{a}=\vec{i}+\vec{k}. A partir dessas informações, determine os vetores tangente \vec{T}, normal \vec{N} e as componentes tangencial a_{T} e normal a_{N} desse corpo no instante t^{*}.
Resp. : \vec{T}=\frac{2}{3} \vec{i}+\frac{2}{3} \vec{j}+\frac{1}{3} \vec{k}, \vec{N}=\frac{1}{3} \vec{i}-\frac{2}{3} \vec{j}+\frac{2}{3} \vec{k} e a_{T}=a_{N}=1.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade \vec{v}=2\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k} e a aceleração \vec{a}=\vec{i}+\vec{k} num instante t^*. Pede-se o versor tangente \vec{T}, o versor normal \vec{N} e as componentes tangencial a_T e normal a_N da aceleração. Para isso, usaremos a definição de \vec{T}=\vec{v}/\|\vec{v}\| e a decomposição
\vec{a}=a_T\,\vec{T}+\vec{a}_N,
onde a_T=\vec{a}\cdot\vec{T} e \vec{a}_N=\vec{a}-a_T\vec{T}.

Passo 2

Calcular o módulo de \vec{v} e em seguida o versor tangente:
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3,
\vec{T}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{2}{3}\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{1}{3}\vec{k}.

Passo 3

Determinar a componente tangencial a_T usando produto escalar:
a_T=\vec{a}\cdot\vec{T} =\bigl(1,0,1\bigr)\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr) =\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1.

Passo 4

Calcular o vetor componente normal \vec{a}_N e seu módulo:
\vec{a}_N=\vec{a}-a_T\,\vec{T} =\bigl(1,0,1\bigr)-1\Bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Bigr),
\|\vec{a}_N\| =\sqrt{\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2+\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2}=1.

Passo 5

Obter o versor normal \vec{N} e a componente normal a_N:
\vec{N}=\frac{\vec{a}_N}{\|\vec{a}_N\|} =\frac{1}{3}\vec{i}-\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{2}{3}\vec{k}, \quad a_N=\|\vec{a}_N\|=1.

Resposta

\vec{T}=\tfrac{2}{3}\vec{i}+\tfrac{2}{3}\vec{j}+\tfrac{1}{3}\vec{k} \vec{N}=\tfrac{1}{3}\vec{i}-\tfrac{2}{3}\vec{j}+\tfrac{2}{3}\vec{k} a_T=1 a_N=1

Exercícios relacionados