Exercício 0.1 Prove que os seguintes números são irracionais
;
Passo 1
O enunciado pede para provar que
é um número irracional.
Conteúdo: prova por contradição usando propriedades de divisibilidade e fatoração prima.
Conteúdo: prova por contradição usando propriedades de divisibilidade e fatoração prima.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja racional. Então existem inteiros
e
sem fator comum além de
(ou seja,
) tais que
Elevando ao quadrado, obtemos
Passo 3
Observe a fatoração prima de
:
Da igualdade
, concluímos que o fator
divide o lado direito, logo
. Como
é primo,
. Escreva
. Substituindo de volta:
Agora
, então
. Como
, segue
e portanto
.
Passo 4
Chegamos ao fato de que
divide simultaneamente
e
, o que contradiz
. Logo a hipótese de que
fosse racional está errada.
Resposta
Portanto,
é irracional.