Exercício 0.1 Prove que os seguintes números são irracionais
\sqrt{12};

Passo 1

O enunciado pede para provar que \sqrt{12} é um número irracional.
Conteúdo: prova por contradição usando propriedades de divisibilidade e fatoração prima.

Passo 2

Suponha, por contradição, que \sqrt{12} seja racional. Então existem inteiros p e q sem fator comum além de 1 (ou seja, \gcd(p,q)=1) tais que
\sqrt{12} = \frac{p}{q}.
Elevando ao quadrado, obtemos
12 = \frac{p^2}{q^2} \quad\Longrightarrow\quad p^2 = 12\,q^2.

Passo 3

Observe a fatoração prima de 12:
12 = 2^2 \cdot 3.
Da igualdade p^2 = 12\,q^2 = 2^2\cdot 3\,q^2, concluímos que o fator 3 divide o lado direito, logo 3\mid p^2. Como 3 é primo, 3\mid p. Escreva p = 3k. Substituindo de volta:
(3k)^2 = 12\,q^2 \quad\Longrightarrow\quad 9\,k^2 = 12\,q^2 \quad\Longrightarrow\quad 3\,k^2 = 4\,q^2.
Agora 3\mid 3\,k^2, então 3\mid 4\,q^2. Como \gcd(3,4)=1, segue 3\mid q^2 e portanto 3\mid q.

Passo 4

Chegamos ao fato de que 3 divide simultaneamente p e q, o que contradiz \gcd(p,q)=1. Logo a hipótese de que \sqrt{12} fosse racional está errada.

Resposta

Portanto, \sqrt{12} é irracional.

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