2- Considere dois eventos A e B tais que:
P(A)=1 / 4 ; P(A \mid B)=1 / 2 ; P(B \backslash A)=1 / 4 .
(a) os eventos A e B são mutuamente excludentes?
(b) calcule P(\bar{A} \mid \bar{B}).

Passo 1

O enunciado dá P(A)=\tfrac14, P(A\mid B)=\tfrac12 e P(B\setminus A)=\tfrac14.
Pede (a) verificar se A e B são mutuamente excludentes e (b) calcular P(\bar A\mid \bar B).
Usaremos definição de probabilidade condicional, soma de probabilidades e operações com complementos.

Passo 2

Da definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \quad\Longrightarrow\quad P(A\cap B)=\tfrac12\,P(B).
Como B se decompõe em (A\cap B)\cup(B\setminus A) e esses são disjuntos,
P(B)=P(A\cap B)+P(B\setminus A) =\tfrac12\,P(B)+\tfrac14.
Basta resolver essa equação para P(B).

Passo 3

Isolando P(B):
P(B)-\tfrac12P(B)=\tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12P(B)=\tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad P(B)=\tfrac12.
Logo
P(A\cap B)=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14.

Passo 4

Como P(A\cap B)=\tfrac14\neq0, concluímos que A e B não são mutuamente excludentes.

Passo 5

Para P(\bar A\mid \bar B) usamos
P(\bar A\mid \bar B) =\frac{P(\bar A\cap \bar B)}{P(\bar B)}.
Sabemos P(\bar B)=1-P(B)=\tfrac12.
Além disso,
P(\bar A\cap \bar B)=1-P(A\cup B).
Pela inclusão-exclusão,
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =\tfrac14+\tfrac12-\tfrac14=\tfrac12,
então P(\bar A\cap \bar B)=1-\tfrac12=\tfrac12.
Logo
P(\bar A\mid \bar B) =\frac{\tfrac12}{\tfrac12}=1.

Resposta

(a) Não.
(b) 1.

Exercícios relacionados