Suponha que X seja uma variável aleatória continua com função densidade de probabilidade, dada por:
f(x)=C\left(4 x-2 x^{2}\right), 0<x<2 ; f(x)=0, \text { caso contrário. }á
(a) encontre o valor de C ;
(b) encontre a \mathrm{P}(\mathrm{X}>1).

Passo 1

O enunciado define uma variável contínua X com densidade
f(x) = C\bigl(4x - 2x^2\bigr),\quad 0 < x < 2,
e f(x)=0 caso contrário. Precisamos achar a constante de normalização C e a probabilidade \mathrm{P}(X>1). O conteúdo fundamental aqui é a normalização de densidade de probabilidade e o cálculo de probabilidade via integrais.

Passo 2

A condição de normalização exige
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1,
ou seja,
C \int_{0}^{2} \bigl(4x - 2x^2\bigr)\,\mathrm{d}x = 1.
Calculando a integral:
\int_{0}^{2} \bigl(4x - 2x^2\bigr)\,\mathrm{d}x = \left[2x^2 - \tfrac{2}{3}x^3\right]_{0}^{2} = 8 - \tfrac{16}{3} = \tfrac{8}{3}.
Portanto,
C \cdot \tfrac{8}{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{3}{8}.

Passo 3

Para calcular \mathrm{P}(X>1) usamos
\mathrm{P}(X>1) = \int_{1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = C \int_{1}^{2} \bigl(4x - 2x^2\bigr)\,\mathrm{d}x.
Substituindo C=\tfrac{3}{8} e avaliando a integral:
\int_{1}^{2} \bigl(4x - 2x^2\bigr)\,\mathrm{d}x = \left[2x^2 - \tfrac{2}{3}x^3\right]_{1}^{2} = \bigl(8 - \tfrac{16}{3}\bigr) - \bigl(2 - \tfrac{2}{3}\bigr) = \tfrac{8}{3} - \tfrac{4}{3} = \tfrac{4}{3}.
Logo,
\mathrm{P}(X>1) = \frac{3}{8} \cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{1}{2}.

Resposta

C = \tfrac{3}{8}. \mathrm{P}(X>1) = \tfrac{1}{2}.

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