Um dado honesto de seis faces é lançado duas vezes. Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que aparece o número 6 nas duas jogadas.
(a) liste todos os possiveis valores que a variável aleatória X pode assumir.
(b) determine a função de probabilidade de X.
(c) calcule a esperança matemática (valor esperado) de X.

Passo 1

O enunciado diz que lançamos um dado honesto de seis faces duas vezes e definimos a variável aleatória X como o número de vezes que sai o face 6 nessas duas jogadas. Esse tipo de situação é modelado por uma distribuição binomial com parâmetros n=2 (número de ensaios) e p=\tfrac{1}{6} (probabilidade de sucesso em cada ensaio). Para resolver, vamos:
  1. Identificar o conjunto de valores possíveis de X.
  2. Aplicar a fórmula da função de probabilidade da binomial.
  3. Calcular a esperança usando a definição ou a fórmula E(X)=n\,p.

Passo 2

Como em duas jogadas podemos ter zero, um ou dois resultados iguais a 6, os valores possíveis de X são
\{0,1,2\}.

Passo 3

A função de probabilidade de uma binomial \mathrm{Bin}(n,p) é
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Aqui n=2 e p=\tfrac{1}{6}, logo para k=0,1,2:
P(X=k) =\binom{2}{k}\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{k}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{2-k}.
Em particular:
P(X=0)=\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{2},\quad P(X=1)=2\cdot\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{5}{6},\quad P(X=2)=\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{2}.

Passo 4

A esperança de uma \mathrm{Bin}(n,p) é
E(X)=n\,p.
Substituindo n=2 e p=\tfrac{1}{6},
E(X)=2\cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{3}.

Resposta

(a) \{0,1,2\}
(b) P(X=k)=\binom{2}{k}\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{k}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{2-k},\quad k=0,1,2.
(c) E(X)=\tfrac{1}{3}.

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