Usando as regras da álgebra de bras e kets, prove ou calcule os seguinte resultados:
(a) \operatorname{tr}(X Y)=\operatorname{tr}(Y X), onde X e Y são operadores.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer operadores X e Y num espaço de Hilbert com base ortonormal \{\lvert i\rangle\}, vale a igualdade
\operatorname{tr}(X\,Y)=\operatorname{tr}(Y\,X).
Vamos usar a definição de traço em bra-ket e a resolução da identidade.

Passo 2

Pela definição de traço numa base ortonormal temos
\operatorname{tr}(X\,Y) =\sum_{i}\langle i\lvert X\,Y\rvert i\rangle.
Agora inserimos a resolução da identidade
\mathbb{I}=\sum_{j}\lvert j\rangle\langle j\rvert
entre X e Y. Assim
\langle i\lvert X\,Y\rvert i\rangle =\sum_{j}\langle i\lvert X\,\bigl(\lvert j\rangle\langle j\rvert\bigr)\,Y\rvert i\rangle =\sum_{j}\langle i\lvert X\rvert j\rangle\langle j\lvert Y\rvert i\rangle.
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\operatorname{tr}(X\,Y) =\sum_{i,j}\langle i\lvert X\rvert j\rangle\langle j\lvert Y\rvert i\rangle.

Passo 3

Na soma dupla acima podemos trocar o nome dos índices i\leftrightarrow j sem alterar o valor, obtendo
\operatorname{tr}(X\,Y) =\sum_{j,i}\langle j\lvert X\rvert i\rangle\langle i\lvert Y\rvert j\rangle =\sum_{j}\langle j\lvert Y\,X\rvert j\rangle =\operatorname{tr}(Y\,X).

Resposta

\operatorname{tr}(X\,Y)=\operatorname{tr}(Y\,X).

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