1.1 Prove que
[A B, C D]=-A C\{D, B\}+A\{C, B\} D-C\{D, A\} B+\{C, A\} D B

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade envolvendo o comutador
[A B,\,C D] = A B\,C D - C D\,A B
e o anticonmutador
\{X,Y\} = X Y + Y X.
Vamos usar apenas as definições
[X,Y] = X Y - Y X \quad\text{e}\quad \{X,Y\} = X Y + Y X
e manipular produtos de operadores.

Passo 2

Escrevemos o lado direito da identidade e expandimos cada anticonmutador:
-R = -A C\{D,B\} + A\{C,B\}D - C\{D,A\}B + \{C,A\}D B.
Agora, passo a passo,
-\,A C\{D,B\} = -A C\,(D B + B D) = -A C D B \;-\; A C B D,
A\{C,B\}D = A\,(C B + B C)\,D = A C B D \;+\; A B C D,
-\,C\{D,A\}B = -C\,(D A + A D)\,B = -C D A B \;-\; C A D B,
\{C,A\}D B = (C A + A C)\,D B = C A D B \;+\; A C D B.

Passo 3

Somando todos esses quatro resultados, obtemos
R = (-A C D B - A C B D) \;+\;(A C B D + A B C D) \;+\;(-C D A B - C A D B) \;+\;(C A D B + A C D B).
Agora, agrupando termos idênticos:
  • -A C D B cancela com +A C D B.
  • -A C B D cancela com +A C B D.
  • -C A D B cancela com +C A D B.
Fica apenas
R = A B C D \;-\; C D A B = [A B,\,C D].

Resposta

Como R=[AB,\,CD], a identidade está provada:
[A B,\,C D] = -A C\{D,B\} + A\{C,B\}D - C\{D,A\}B + \{C,A\}D B.

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