Considere dois kets |\psi\rangle e \left|\psi^{\prime}\right\rangle tais que \left|\psi^{\prime}\right\rangle=e^{i \theta}|\psi\rangle, onde \theta é um número real.
(a) Prove que se |\psi\rangle é normalizado, então \left|\psi^{\prime}\right\rangle também é.
(b) Demonstre que as probabilidades previstas para uma medida arbitrária são as mesmas para |\psi\rangle e \left|\psi^{\prime}\right\rangle; portanto, |\psi\rangle e \left|\psi^{\prime}\right\rangle representam o mesmo estado físico.

Passo 1

O enunciado está em mecânica quântica e trata de kets num espaço de Hilbert. Temos dois vetores de estado \lvert\psi\rangle e \lvert\psi'\rangle relacionados por
\lvert\psi'\rangle = e^{i\theta}\,\lvert\psi\rangle,
onde \theta é real. Precisamos mostrar que
  1. Se \lvert\psi\rangle é normalizado então \lvert\psi'\rangle também é.
  2. Qualquer probabilidade de medida em \lvert\psi\rangle coincide com a de \lvert\psi'\rangle, ou seja, a fase global e^{i\theta} não altera resultados físicos.

Passo 2

Para normalização usamos o produto interno. Supondo \langle\psi\vert\psi\rangle=1, calculamos
\langle\psi'\vert\psi'\rangle =\bigl(e^{i\theta}\lvert\psi\rangle\bigr)^\dagger \bigl(e^{i\theta}\lvert\psi\rangle\bigr) =e^{-i\theta}\,e^{i\theta}\,\langle\psi\vert\psi\rangle =\langle\psi\vert\psi\rangle =1.
Logo \lvert\psi'\rangle também é normalizado.

Passo 3

Considere uma medida projetiva com autovetores \{\lvert\phi_n\rangle\}. Em \lvert\psi\rangle, a probabilidade de obter o valor associado a \lvert\phi_n\rangle é
p_n =\bigl\lvert\langle\phi_n\vert\psi\rangle\bigr\rvert^2.
Em \lvert\psi'\rangle temos
\langle\phi_n\vert\psi'\rangle =\langle\phi_n\vert e^{i\theta}\psi\rangle =e^{i\theta}\,\langle\phi_n\vert\psi\rangle,
portanto
p'_n =\bigl\lvert\langle\phi_n\vert\psi'\rangle\bigr\rvert^2 =\bigl\lvert e^{i\theta}\,\langle\phi_n\vert\psi\rangle\bigr\rvert^2 =\lvert e^{i\theta}\rvert^2\,\bigl\lvert\langle\phi_n\vert\psi\rangle\bigr\rvert^2 =1\cdot p_n =p_n.
Então todas as probabilidades coincidem.

Passo 4

Como a normalização e todas as probabilidades de medida são iguais para \lvert\psi\rangle e \lvert\psi'\rangle, concluímos que eles descrevem o mesmo estado físico, pois a única diferença é uma fase global que não pode ser detectada experimentalmente.

Resposta

(a) \langle\psi'\vert\psi'\rangle=1.
(b) As probabilidades \lvert\langle\phi_n\vert\psi'\rangle\rvert^2 coincidem com \lvert\langle\phi_n\vert\psi\rangle\rvert^2, logo representam o mesmo estado físico.

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