Considere dois kets |\psi\rangle e \left|\psi^{\prime}\right\rangle tais que \left|\psi^{\prime}\right\rangle=e^{i \theta}|\psi\rangle, onde \theta é um número real.
(a) Prove que se |\psi\rangle é normalizado, então \left|\psi^{\prime}\right\rangle também é.
(b) Demonstre que as probabilidades previstas para uma medida arbitrária são as mesmas para |\psi\rangle e \left|\psi^{\prime}\right\rangle; portanto, |\psi\rangle e \left|\psi^{\prime}\right\rangle representam o mesmo estado físico.
Passo 1
O enunciado está em mecânica quântica e trata de kets num espaço de Hilbert. Temos dois vetores de estado \lvert\psi\rangle e \lvert\psi'\rangle relacionados por
Se \lvert\psi\rangle é normalizado então \lvert\psi'\rangle também é.
Qualquer probabilidade de medida em \lvert\psi\rangle coincide com a de \lvert\psi'\rangle, ou seja, a fase global e^{i\theta} não altera resultados físicos.
Passo 2
Para normalização usamos o produto interno. Supondo \langle\psi\vert\psi\rangle=1, calculamos
Considere uma medida projetiva com autovetores \{\lvert\phi_n\rangle\}. Em \lvert\psi\rangle, a probabilidade de obter o valor associado a \lvert\phi_n\rangle é
Como a normalização e todas as probabilidades de medida são iguais para \lvert\psi\rangle e \lvert\psi'\rangle, concluímos que eles descrevem o mesmo estado físico, pois a única diferença é uma fase global que não pode ser detectada experimentalmente.
Resposta
(a) \langle\psi'\vert\psi'\rangle=1.
(b) As probabilidades \lvert\langle\phi_n\vert\psi'\rangle\rvert^2 coincidem com \lvert\langle\phi_n\vert\psi\rangle\rvert^2, logo representam o mesmo estado físico.