Sejam \left|\psi_{1}\right\rangle e \left|\psi_{2}\right\rangle dois estados ortogonais e normalizados de um sistema físico:
\left\langle\psi_{1} \mid \psi_{2}\right\rangle=0 \quad \mathrm{e} \quad\left\langle\psi_{1} \mid \psi_{1}\right\rangle=\left\langle\psi_{2} \mid \psi_{2}\right\rangle=1
e seja A um observável do sistema. Considere um autovalor não degenerado de A, denotado por \alpha_{n}, ao qual corresponde o estado normalizado \left|\phi_{n}\right\rangle. Nós definimos P_{1}\left(\alpha_{n}\right)=\left|\left\langle\phi_{n} \mid \psi_{1}\right\rangle\right|^{2} e P_{2}\left(\alpha_{n}\right)=\left|\left\langle\phi_{n} \mid \psi_{2}\right\rangle\right|^{2}.
(a) Qual é a interpretação de P_{1}\left(\alpha_{n}\right) e P_{2}\left(\alpha_{n}\right) ?
(b) Uma dada partícula está no estado 3\left|\psi_{1}\right\rangle-4 i\left|\psi_{2}\right\rangle. Qual é a probabilidade de se obter \alpha_{n} quando A é medido?

Passo 1

Estamos num sistema quântico com dois estados ortonormais e normalizados \bigl|\psi_{1}\bigr\rangle e \bigl|\psi_{2}\bigr\rangle, e um observável A com autovalor não degenerado \alpha_{n} e autovetor normalizado \bigl|\phi_{n}\bigr\rangle. Definimos
P_{1}(\alpha_{n}) = \bigl|\langle\phi_{n}\mid\psi_{1}\rangle\bigr|^{2}, \quad P_{2}(\alpha_{n}) = \bigl|\langle\phi_{n}\mid\psi_{2}\rangle\bigr|^{2}.
Queremos (a) interpretar P_{1} e P_{2} e (b) calcular a probabilidade de obter \alpha_{n} se o estado é
\bigl|\Psi\bigr\rangle = 3\bigl|\psi_{1}\bigr\rangle \;-\;4\,i\,\bigl|\psi_{2}\bigr\rangle.

Passo 2

P_{1}(\alpha_{n}) é a probabilidade de, ao medir o observável A num sistema preparado no estado \bigl|\psi_{1}\bigr\rangle, obter o valor \alpha_{n}. Analogamente, P_{2}(\alpha_{n}) é a probabilidade de obter \alpha_{n} quando o sistema está em \bigl|\psi_{2}\bigr\rangle. Isso decorre da regra de Born, que diz que a probabilidade de resultado \alpha_{n} é o quadrado do módulo da amplitude de projeção no autovetor \bigl|\phi_{n}\bigr\rangle.

Passo 3

O estado dado
\bigl|\Psi\bigr\rangle = 3\bigl|\psi_{1}\bigr\rangle -4\,i\,\bigl|\psi_{2}\bigr\rangle
ainda não está normalizado. Seu quadrado da norma é
\langle\Psi\mid\Psi\rangle = |3|^{2}\,\langle\psi_{1}\mid\psi_{1}\rangle + |{-4\,i}|^{2}\,\langle\psi_{2}\mid\psi_{2}\rangle = 9 + 16 = 25.
Logo o estado normalizado é
\bigl|\widetilde\Psi\bigr\rangle = \frac{1}{5}\bigl(3\bigl|\psi_{1}\bigr\rangle -4\,i\,\bigl|\psi_{2}\bigr\rangle\bigr).

Passo 4

Pela regra de Born, a probabilidade de medir \alpha_{n} em \bigl|\widetilde\Psi\bigr\rangle é
P(\alpha_{n}) = \bigl|\langle\phi_{n}\mid\widetilde\Psi\rangle\bigr|^{2} = \left|\frac{1}{5}\Bigl(3\langle\phi_{n}\mid\psi_{1}\rangle -4\,i\,\langle\phi_{n}\mid\psi_{2}\rangle\Bigr)\right|^{2}.
Chamando c_{1}=\langle\phi_{n}\mid\psi_{1}\rangle e c_{2}=\langle\phi_{n}\mid\psi_{2}\rangle, e usando P_{1}=|c_{1}|^{2}, P_{2}=|c_{2}|^{2}, obtemos
P(\alpha_{n}) = \frac{1}{25}\bigl|3\,c_{1}-4\,i\,c_{2}\bigr|^{2} = \frac{1}{25}\Bigl(9\,P_{1}(\alpha_{n}) +16\,P_{2}(\alpha_{n}) -24\,\Im\{c_{1}c_{2}^{*}\}\Bigr),
onde \Im\{\cdot\} é a parte imaginária.

Resposta

(a) P_{1}(\alpha_{n}) e P_{2}(\alpha_{n}) são, pela regra de Born, as probabilidades de obter o valor \alpha_{n} ao medir A nos estados \bigl|\psi_{1}\bigr\rangle e \bigl|\psi_{2}\bigr\rangle, respectivamente.
(b) Para o estado 3\bigl|\psi_{1}\bigr\rangle -4\,i\,\bigl|\psi_{2}\bigr\rangle, a probabilidade de sair \alpha_{n} é
P(\alpha_{n}) = \frac{1}{25}\bigl|3\langle\phi_{n}\mid\psi_{1}\rangle -4\,i\,\langle\phi_{n}\mid\psi_{2}\rangle\bigr|^{2} = \frac{1}{25}\bigl|3\,c_{1}-4\,i\,c_{2}\bigr|^{2}.

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