e seja A um observável do sistema. Considere um autovalor não degenerado de A, denotado por \alpha_{n}, ao qual corresponde o estado normalizado \left|\phi_{n}\right\rangle. Nós definimos P_{1}\left(\alpha_{n}\right)=\left|\left\langle\phi_{n} \mid \psi_{1}\right\rangle\right|^{2} e P_{2}\left(\alpha_{n}\right)=\left|\left\langle\phi_{n} \mid \psi_{2}\right\rangle\right|^{2}.
(a) Qual é a interpretação de P_{1}\left(\alpha_{n}\right) e P_{2}\left(\alpha_{n}\right) ?
(b) Uma dada partícula está no estado 3\left|\psi_{1}\right\rangle-4 i\left|\psi_{2}\right\rangle. Qual é a probabilidade de se obter \alpha_{n} quando A é medido?
Passo 1
Estamos num sistema quântico com dois estados ortonormais e normalizados \bigl|\psi_{1}\bigr\rangle e \bigl|\psi_{2}\bigr\rangle, e um observável A com autovalor não degenerado \alpha_{n} e autovetor normalizado \bigl|\phi_{n}\bigr\rangle. Definimos
P_{1}(\alpha_{n}) é a probabilidade de, ao medir o observável A num sistema preparado no estado \bigl|\psi_{1}\bigr\rangle, obter o valor \alpha_{n}. Analogamente, P_{2}(\alpha_{n}) é a probabilidade de obter \alpha_{n} quando o sistema está em \bigl|\psi_{2}\bigr\rangle. Isso decorre da regra de Born, que diz que a probabilidade de resultado \alpha_{n} é o quadrado do módulo da amplitude de projeção no autovetor \bigl|\phi_{n}\bigr\rangle.
(a) P_{1}(\alpha_{n}) e P_{2}(\alpha_{n}) são, pela regra de Born, as probabilidades de obter o valor \alpha_{n} ao medir A nos estados \bigl|\psi_{1}\bigr\rangle e \bigl|\psi_{2}\bigr\rangle, respectivamente.
(b) Para o estado 3\bigl|\psi_{1}\bigr\rangle -4\,i\,\bigl|\psi_{2}\bigr\rangle, a probabilidade de sair \alpha_{n} é