Considere um sistema físico com um espaço de estados tridimensional. Uma base ortonormal do espaço de estados é escolhida; nesta base, o Hamiltoniano é representado pela matriz:
H=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)
|\psi\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c} 1 \\\\ -i \\\ i \end{array}\right)
Encontre \langle H\rangle,\left\langle H^{2}\right\rangle, e \Delta H.

Passo 1

O enunciado dá um estado quântico |\psi\rangle num espaço de estados tridimensional e o Hamiltoniano H na base ortonormal padrão. Queremos calcular a energia média \langle H\rangle, a média do quadrado do Hamiltoniano \langle H^2\rangle e a incerteza \Delta H. Para isso usamos as fórmulas de valor esperado em mecânica quântica:
\langle H\rangle = \langle \psi|H|\psi\rangle,\quad \langle H^2\rangle = \langle \psi|H^2|\psi\rangle,\quad \Delta H = \sqrt{\langle H^2\rangle - \langle H\rangle^2}.

Passo 2

Primeiro achamos \langle H\rangle. Escrevendo
|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\\ -i\i\end{pmatrix}, \quad H = \begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\\ 1 & 2 & 0\\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix},
temos
H|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 2\cdot1 + 1\cdot(-i) \\[6pt] 1\cdot1 + 2\cdot(-i) \\[3pt] 3\cdot i \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 2 - i \\[3pt] 1 - 2i \\[3pt] 3i \end{pmatrix}.
O adjunto de |\psi\rangle é
\langle \psi| = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,\;i,\;-i).
Logo
\langle H\rangle = \langle \psi|H|\psi\rangle = \frac{1}{3}\bigl[\,1\cdot(2 - i) + i\cdot(1 - 2i) + (-i)\cdot(3i)\bigr] = \frac{1}{3}\bigl[(2 - i) + (2 + i) + 3\bigr] = \frac{7}{3}.]

Passo 3

Para \langle H^2\rangle é útil achar H^2. Multiplicando
H^2 = \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix}^2 \oplus (3)^2 = \begin{pmatrix}5 & 4\\\ 4 & 5\end{pmatrix}\oplus (9) = \begin{pmatrix}5 & 4 & 0\\\ 4 & 5 & 0\\\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}.
Então
H^2|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 5\cdot1 + 4\cdot(-i) \\[3pt] 4\cdot1 + 5\cdot(-i) \\[3pt] 9\cdot i \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 5 - 4i \\[3pt] 4 - 5i \\[3pt] 9i \end{pmatrix},
e
\langle H^2\rangle = \langle \psi|H^2|\psi\rangle = \frac{1}{3}\bigl[\,1\cdot(5-4i) + i\cdot(4-5i) +(-i)\cdot(9i)\bigr] = \frac{1}{3}\bigl[(5-4i)+(4i+5)+9\bigr] = \frac{19}{3}.]

Passo 4

Por fim a incerteza é
\Delta H = \sqrt{\langle H^2\rangle - \langle H\rangle^2} = \sqrt{\frac{19}{3} - \Bigl(\frac{7}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{19}{3} - \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\langle H\rangle = \tfrac{7}{3} \langle H^2\rangle = \tfrac{19}{3} \Delta H = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}

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