Considere dois lançamentos consecutivos de um dado equilibrado. Defina as seguintes variáveis aleatórias:
  • X= número de vezes em que é obtida a face 1 ;
  • Y= número de vezes que é obtida a face 6 ;
  • Z= número de vezes que é obtida a face 1 ou a face 6 .
    a) Obtenha a função de densidade de probabilidade de cada uma das variáveis aleatórias definidas acima.
    b) Calcule a esperança e a variância de cada uma das variáveis aleatórias definidas acima.
    c) Verifique que Z=Y+X. A mesma relação vale para a esperança e a variância, ou seja,
E(Z)=E(X)+E(Y) ? VAR(Z)=VAR(X)+VAR(Y) ?
d) Determine a função de distribuição acumulada da v.a. X.

Passo 1

O enunciado considera dois lançamentos independentes de um dado justo e define as variáveis X = número de vezes que sai a face 1, Y = número de vezes que sai a face 6 e Z = número de vezes que sai a face 1 ou 6.
Conteúdo usado: modelagem Bernoulli em cada lançamento, distribuição binomial para soma de ensaios de Bernoulli, fórmulas de esperança e variância de binomial, linearidade da esperança, regra da variância em soma de v.a. e definição de função de distribuição acumulada (cdf).

Passo 2

Para X cada lançamento é “sucesso” (sair 1) com probabilidade p=1/6 e há n=2 lançamentos. Logo
X sim Binl(n=2,p=tfrac16r),
isto é, para k=0,1,2,
P(X = k) ;=; binom2kl(tfrac16r)^kl(tfrac56r)^2-k
Analogamente, Y conta “sucessos” (sair 6) com mesma n=2 e p=1/6, logo
P(Y = k) ;=; binom2kl(tfrac16r)^kl(tfrac56r)^2-k, k=0,1,2
Para Z “sucesso” é sair 1 ou 6, com p=2/6=1/3, ainda com n=2, então
Z sim Binl(n=2,p=tfrac13r),
isto é, para k=0,1,2,
P(Z = k) ;=; binom2kl(tfrac13r)^kl(tfrac23r)^2-k

Passo 3

Usamos as fórmulas
El[Bin(n,p)r] = np, Varl[Bin(n,p)r] = np(1-p)
Para X e Y com n=2, p=1/6:
E(X)=2cdottfrac16=tfrac13, Var(X)=2cdottfrac16cdottfrac56=tfrac518,
E(Y)=tfrac13, Var(Y)=tfrac518
Para Z com n=2, p=1/3:
E(Z)=2cdottfrac13=tfrac23, Var(Z)=2cdottfrac13cdottfrac23=tfrac49

Passo 4

Por construção, em cada lançamento Z incrementa 1 se sai 1 ou 6, então
Z = X + Y
Pela linearidade da esperança
E(Z) = E(X+Y) = E(X) + E(Y),
e de fato tfrac23 = tfrac13 + tfrac13.
Para a variância, em geral
Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)+2,Cov(X,Y)
Aqui X e Y não são independentes, de modo que
Var(Z)=tfrac49 ;neq; Var(X)+Var(Y)=tfrac518+tfrac518=tfrac59

Passo 5

A função de distribuição acumulada de X é
FX(x) = P(X<= x)
Como X só pode assumir 0,1,2, temos:
Para x<0, FX(x)=0.
Para 0<= x<1, FX(x)=P(X=0)=(5/6)^2=tfrac2536.
Para 1<= x<2, FX(x)=P(X<=1)=tfrac2536+2cdottfrac16cdottfrac56=tfrac3536.
Para x>=2, FX(x)=1.

Resposta

(a)
P(X=k)=binom2kl(tfrac16r)^kl(tfrac56r)^2-k,; P(Y=k)=binom2kl(tfrac16r)^kl(tfrac56r)^2-k,; P(Z=k)=binom2kl(tfrac13r)^kl(tfrac23r)^2-k
(b)
E(X)=tfrac13,;Var(X)=tfrac518; E(Y)=tfrac13,;Var(Y)=tfrac518; E(Z)=tfrac23,;Var(Z)=tfrac49
(c)
Z=X+Y, E(Z)=E(X)+E(Y) (sim), Var(Z)neqVar(X)+Var(Y) (não) ã
(d)
FX(x)= 0,&x<0, tfrac2536,&0<= x<1, tfrac3536,&1<= x<2, 1,&x>=2

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