Considere dois lançamentos consecutivos de um dado equilibrado. Defina as seguintes variáveis aleatórias:
-
número de vezes em que é obtida a face 1 ;
-
número de vezes que é obtida a face 6 ;
-
número de vezes que é obtida a face 1 ou a face 6 .
a) Obtenha a função de densidade de probabilidade de cada uma das variáveis aleatórias definidas acima.
b) Calcule a esperança e a variância de cada uma das variáveis aleatórias definidas acima.
c) Verifique que
. A mesma relação vale para a esperança e a variância, ou seja,
d) Determine a função de distribuição acumulada da v.a.
.
a) Obtenha a função de densidade de probabilidade de cada uma das variáveis aleatórias definidas acima.
b) Calcule a esperança e a variância de cada uma das variáveis aleatórias definidas acima.
c) Verifique que
Passo 1
O enunciado considera dois lançamentos independentes de um dado justo e define as variáveis X
número de vezes que sai a face
, Y
número de vezes que sai a face
e Z
número de vezes que sai a face
ou
.
Conteúdo usado: modelagem Bernoulli em cada lançamento, distribuição binomial para soma de ensaios de Bernoulli, fórmulas de esperança e variância de binomial, linearidade da esperança, regra da variância em soma de v.a. e definição de função de distribuição acumulada (cdf).
Conteúdo usado: modelagem Bernoulli em cada lançamento, distribuição binomial para soma de ensaios de Bernoulli, fórmulas de esperança e variância de binomial, linearidade da esperança, regra da variância em soma de v.a. e definição de função de distribuição acumulada (cdf).
Passo 2
Para X cada lançamento é “sucesso” (sair
) com probabilidade
e há
lançamentos. Logo
isto é, para
,
Analogamente, Y conta “sucessos” (sair
) com mesma
e
, logo
Para Z “sucesso” é sair
ou
, com
, ainda com
, então
isto é, para
,
Passo 3
Usamos as fórmulas
Para X e Y com
,
:
Para Z com
,
:
Passo 4
Por construção, em cada lançamento Z incrementa
se sai
ou
, então
Pela linearidade da esperança
e de fato
.
Para a variância, em geral
Para a variância, em geral
Aqui X e Y não são independentes, de modo que
Passo 5
A função de distribuição acumulada de X é
Como X só pode assumir
, temos:
Para ,
.
Para ,
.
Para ,
.
Para ,
.
Para
Para
Para
Para
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)