Considere dois planetas perfeitamente esféricos A e B, maciços de raios iguais a R, mas massas M_{A}=M e M_{B}=4 M. Seus centros estão separados por uma distância igual a 6 R. Um satélite de massa m é lançado da superfície do planeta de massa A diretamente em direção ao centro do planeta B. Encontre a expressão da velocidade mínima v do satélite para que ele atinja a superfície do segundo planeta.(IFPI2022)

Passo 1

O enunciado descreve dois planetas esféricos de mesmo raio R, cujas massas são M_A=M e M_B=4M. Os centros estão separados por 6R. Um satélite de massa m é lançado da superfície de A, em linha reta, rumo ao centro de B. Queremos a velocidade mínima v para que ele chegue exatamente à superfície de B. Para isso, vamos usar conservação de energia mecânica, incluindo a energia potencial gravitacional em ambos os campos.

Passo 2

Definimos as distâncias do satélite aos centros de cada planeta nos pontos inicial e final:
— Ponto inicial (lançamento na superfície de A):
distância ao centro de A:
r_{A,i}=R,
distância ao centro de B:
r_{B,i}=6R - R = 5R.
— Ponto final (justo na superfície de B, sem velocidade restante):
distância ao centro de A:
r_{A,f}=6R - R=5R,
distância ao centro de B:
r_{B,f}=R.

Passo 3

Escrevemos conservação de energia mecânica entre os dois pontos. Como queremos a velocidade mínima para chegar com v_f=0 em B, temos
\tfrac12\,m\,v^2 + U_i = 0 + U_f,
onde
U_i = -\frac{G\,M\,m}{r_{A,i}} \;-\;\frac{G\,(4M)\,m}{r_{B,i}}, \qquad U_f = -\frac{G\,M\,m}{r_{A,f}} \;-\;\frac{G\,(4M)\,m}{r_{B,f}}.

Passo 4

Calculamos primeiro U_i e U_f:
U_i = -\frac{G\,M\,m}{R} \;-\;\frac{4\,G\,M\,m}{5R}, \quad U_f = -\frac{G\,M\,m}{5R} \;-\;\frac{4\,G\,M\,m}{R}.
A variação de potencial é
\Delta U = U_f - U_i = \Bigl(-\tfrac{G\,M\,m}{5R}-\tfrac{4G\,M\,m}{R}\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{G\,M\,m}{R}-\tfrac{4G\,M\,m}{5R}\Bigr) = -\frac{12}{5}\,\frac{G\,M\,m}{R}.

Passo 5

Da conservação,
\tfrac12\,m\,v^2 = -\Delta U = \frac{12}{5}\,\frac{G\,M\,m}{R}.
Cancelando m e isolando v, obtemos
v^2 = \frac{24}{5}\,\frac{G\,M}{R}, \qquad v = \sqrt{\frac{24}{5}\,\frac{G\,M}{R}}.

Resposta

v_{\min} = \sqrt{\frac{24}{5}\,\frac{G\,M}{R}}.

Exercícios relacionados