Considere dois planetas perfeitamente esféricos
e
, maciços de raios iguais a
, mas massas
e
. Seus centros estão separados por uma distância igual a
. Um satélite de massa
é lançado da superfície do planeta de massa
diretamente em direção ao centro do planeta
. Encontre a expressão da velocidade mínima
do satélite para que ele atinja a superfície do segundo planeta.(IFPI2022)
Passo 1
O enunciado descreve dois planetas esféricos de mesmo raio
, cujas massas são
e
. Os centros estão separados por
. Um satélite de massa
é lançado da superfície de
, em linha reta, rumo ao centro de
. Queremos a velocidade mínima
para que ele chegue exatamente à superfície de
. Para isso, vamos usar conservação de energia mecânica, incluindo a energia potencial gravitacional em ambos os campos.
Passo 2
Definimos as distâncias do satélite aos centros de cada planeta nos pontos inicial e final:
— Ponto inicial (lançamento na superfície de ):
distância ao centro de :
— Ponto inicial (lançamento na superfície de
distância ao centro de
distância ao centro de
:
— Ponto final (justo na superfície de
, sem velocidade restante):
distância ao centro de :
distância ao centro de
distância ao centro de
:
Passo 3
Escrevemos conservação de energia mecânica entre os dois pontos. Como queremos a velocidade mínima para chegar com
em
, temos
onde
Passo 4
Calculamos primeiro
e
:
A variação de potencial é
Passo 5
Da conservação,
Cancelando
e isolando
, obtemos