Considere dois referenciais inerciais, S e S^{\prime}. O referencial S^{\prime} se move com uma velocidade constante \vec{v}=v \hat{i} em relação ao referencial S, onde os eixos x e x^{\prime} são paralelos. As transformações de Lorentz para as coordenadas espaciais e o tempo entre esses dois referenciais são dadas por:
\begin{aligned} x^{\prime} & =\gamma(x-v t) \\\ y^{\prime} & =y \\\ z^{\prime} & =z \\\ t^{\prime} & =\gamma\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right) \end{aligned}
onde \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} é o fator de Lorentz e c é a velocidade da luz no vácuo.
No referencial S, existem um campo elétrico \vec{E} e um campo magnético \vec{B}. Considerando o caso particular de ausência de cargas ( \rho=0 ) e correntes ( \vec{J}=0 ) no vácuo, encontre as expressões para os componentes do campo elétrico \overrightarrow{E^{\prime}} e do campo magnético \overrightarrow{B^{\prime}} no referencial S^{\prime}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as componentes dos campos elétrico e magnético observados em S^{\prime} (ou seja, \overrightarrow{E^{\prime}} e \overrightarrow{B^{\prime}}), sabendo que S^{\prime} se move com velocidade constante \vec{v}=v\hat{i} em relação a S. Informações dadas e perguntas claras:
  • Dados: as transformações de Lorentz entre S e S^{\prime} (boost ao longo de x), o fator de Lorentz \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}, e que estamos no vácuo sem cargas nem correntes ( \rho=0,\\ \vec{J}=0).
  • Pedido: expressões para os componentes de \overrightarrow{E^{\prime}} e \overrightarrow{B^{\prime}} em termos de \vec{E}=(E_x,E_y,E_z), \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), v e c.
    Obs.: não precisamos dos detalhes das equações de Maxwell aqui além de saber que campos se misturam sob boosts; vamos usar as fórmulas de transformação dos campos eletromagnéticos entre referenciais inerciais que obedecem às transformações de Lorentz.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (sem jargão pesado):
  • Método escolhido: usar as fórmulas vetoriais de transformação dos campos elétrico e magnético sob um boost de velocidade \vec{v}. Essas fórmulas vêm diretamente da formulação covariante do campo eletromagnético (matriz/tensor) e são o jeito mais direto e confiável de obter componentes em provas.
  • Intuição rápida: o que um observador vê de \vec{E} e \vec{B} depende do referencial; sob um boost, as componentes paralelas à velocidade não mudam, e as componentes perpendiculares se misturam via termos do tipo \vec{v}\times\vec{B} e \vec{v}\times\vec{E}, com fatores \gamma e 1/c^{2}.

Passo 3

Apresentando as fórmulas gerais (em unidades SI) e explicando cada termo:
  • Separe qualquer vetor \vec{A} em componentes paralela e perpendicular à velocidade \vec{v}: \vec{A}_{\parallel}=\left(\hat{v}\cdot\vec{A}\right)\hat{v},\qquad \vec{A}_{\perp}=\vec{A}-\vec{A}_{\parallel}.Aqui \hat{v} é o versor na direção de \vec{v}.
  • Fórmulas de transformação (verdadeiras para um boost de velocidade \vec{v} e convenções SI): \vec{E}^{\prime}_{\parallel}=\vec{E}_{\parallel}, \qquad \vec{E}^{\prime}_{\perp}=\gamma\bigl(\vec{E}_{\perp}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr),
\vec{B}^{\prime}_{\parallel}=\vec{B}_{\parallel}, \qquad \vec{B}^{\prime}_{\perp}=\gamma\!\left(\vec{B}_{\perp}-\dfrac{1}{c^{2}}\;\vec{v}\times\vec{E}\right).
  • O que cada símbolo significa:
    • \vec{v} é a velocidade do referencial S^{\prime} relativa a S (aqui \vec{v}=v\hat{i}).
    • \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.
    • \vec{v}\times\vec{B} é o produto vetorial usual (gera mistura entre componentes).
  • Por que essas fórmulas fazem sentido (intuitivamente): componentes paralelas não se misturam porque o boost é ao longo daquela direção; componentes perpendiculares recebem contribuição cruzada porque campos elétrico e magnético são aspectos do mesmo tensor que se mistura sob Lorentz.

Passo 4

Agora specialize para o nosso caso \vec{v}=v\hat{i}. Primeiro identifique as partes paralela e perpendicular:
  • A direção paralela é o eixo x. Então: \vec{E}_{\parallel}=(E_x,0,0),\qquad \vec{E}_{\perp}=(0,E_y,E_z),
\vec{B}_{\parallel}=(B_x,0,0),\qquad \vec{B}_{\perp}=(0,B_y,B_z).

Passo 5

Calcule \vec{v}\times\vec{B} e \vec{v}\times\vec{E} (é o passo chave para obter as componentes):
  • Com \vec{v}=v\hat{i}, o produto vetorial é \vec{v}\times\vec{B}=v\hat{i}\times(B_x\hat{i}+B_y\hat{j}+B_z\hat{k})=v(0,-B_z,B_y).Então as componentes são (0,-vB_z,vB_y).
  • Similarmente \vec{v}\times\vec{E}=v(0,-E_z,E_y).Então as componentes são (0,-vE_z,vE_y).

Passo 6

Aplique as fórmulas para \vec{E}^{\prime}:
  • Componente paralela ( x): E^{\prime}_x = E_x.(não muda; explicação: é a componente paralela ao boost.)
  • Componentes perpendiculares ( y,z) usando \vec{E}^{\prime}_{\perp}=\gamma(\vec{E}_{\perp}+\vec{v}\times\vec{B}): E^{\prime}_y=\gamma\bigl(E_y + (\vec{v}\times\vec{B})_y\bigr)=\gamma\bigl(E_y - v B_z\bigr),
E^{\prime}_z=\gamma\bigl(E_z + (\vec{v}\times\vec{B})_z\bigr)=\gamma\bigl(E_z + v B_y\bigr).
(detalhe: (\vec{v}\times\vec{B})_y=-vB_z e (\vec{v}\times\vec{B})_z= vB_y.)

Passo 7

Aplique as fórmulas para \vec{B}^{\prime}:
  • Componente paralela ( x): B^{\prime}_x = B_x.
  • Componentes perpendiculares ( y,z) usando \vec{B}^{\prime}_{\perp}=\gamma\bigl(\vec{B}_{\perp}-\dfrac{1}{c^{2}}\vec{v}\times\vec{E}\bigr): B^{\prime}_y=\gamma\!\left(B_y - \dfrac{1}{c^{2}}(\vec{v}\times\vec{E})_y\right) =\gamma\!\left(B_y + \dfrac{v}{c^{2}}E_z\right),
B^{\prime}_z=\gamma\!\left(B_z - \dfrac{1}{c^{2}}(\vec{v}\times\vec{E})_z\right) =\gamma\!\left(B_z - \dfrac{v}{c^{2}}E_y\right).
(detalhe: (\vec{v}\times\vec{E})_y=-vE_z e (\vec{v}\times\vec{E})_z= vE_y, daí os sinais mostrados.)

Passo 8

Cheque rápido de consistência (sem calc complexos, só intuição):
  • No limite não-relativístico v\ll c temos \gamma\approx 1, e então \vec{E}^{\prime}\approx \vec{E}+\vec{v}\times\vec{B},\qquad \vec{B}^{\prime}\approx \vec{B}-\dfrac{1}{c^{2}}\vec{v}\times\vec{E},que é a intuição física esperada: movimento gera campos cruzados. Isso confere com as fórmulas que usamos.

Resposta

E^{\prime}_x = E_x
E^{\prime}_y = \gamma\bigl(E_y - v B_z\bigr)
E^{\prime}_z = \gamma\bigl(E_z + v B_y\bigr)
B^{\prime}_x = B_x
B^{\prime}_y = \gamma\!\left(B_y + \dfrac{v}{c^{2}}E_z\right)
B^{\prime}_z = \gamma\!\left(B_z - \dfrac{v}{c^{2}}E_y\right)

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