Questão 2 [ \mathbf{3 , 0} pontos]: Uma esfera condutora de carga \mathbf{q}_{0}=\mathbf{1 6} \mathbf{C} e raio \mathbf{R}_{1}=\mathbf{2 , 0} \mathbf{m} é coberta por uma casca esférica isolante de raio interno \mathbf{R}_{1}, raio externo \mathbf{R}_{2}=\mathbf{5 , 2} \mathbf{m} e densidade volumétrica de carga \rho(r) =\mathbf{4 r}^{6}\left(\mathbf{C} / \mathbf{m}^{3}\right). Use a constante da Lei de Coulomb como \mathbf{k}=\mathbf{8 , 9 9} \times \mathbf{1 0}^{9} \mathbf{N} . \mathbf{m}^{2} / \mathbf{C}^{2}, \varepsilon_{0}=\mathbf{8 , 8 5} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{1 2}} \mathbf{C}^{\mathbf{2}} /\left(\mathbf{N m}^{\mathbf{2}}\right) e utilize duas casas decimais (em notação científica) para todas suas operações e cálculos.
Assumindo um potencial elétrico nulo no infinito, determine o potencial elétrico a uma distância \mathbf{r} =\mathbf{2 , 9 ~ m} do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o potencial elétrico em r=2{,}9\\ \mathrm{m} medido a partir do centro, tomando o potencial nulo no infinito.\n
Dados fornecidos:
q_{0}=16\\ \mathrm{C},\quad R_{1}=2{,}0\\ \mathrm{m},\quad R_{2}=5{,}2\\ \mathrm{m},
\rho(r)=4\,r^{6}\\ \mathrm{C/m^{3}},\quad k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
Observação importante: o ponto onde queremos o potencial r=2{,}9\\ \mathrm{m} satisfaz R_{1}<r<R_{2} (ou seja, está dentro da casca isolante, entre as duas superfícies esféricas).

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): por superposição, o potencial total em um ponto é soma do potencial devido à esfera condutora (carga q_{0} localizada na superfície em R_{1}, que para r>R_{1} age como carga puntiforme no centro) mais o potencial gerado pela distribuição volumétrica da casca entre R_{1} e R_{2}.\n
Para calcular a contribuição da casca usaremos a simetria esférica: dividir a casca em casquinhas esféricas de raio r' e espessura dr' com carga dq=4\pi r'^{2}\rho(r')\,dr'. Cada casquinha com r'<r contribui como carga concentrada no centro ( k\,dq/r); cada casquinha com r'>r contribui por k\,dq/r'. Assim montamos integrais em r' de R_{1} até r e de r até R_{2}.

Passo 3

Fórmulas básicas que usaremos (explicadas):
  • Potencial de carga puntiforme ou de uma carga total Q localizada no centro, em distância r:
V(r)=k\frac{Q}{r},
onde k é a constante da lei de Coulomb e r a distância do ponto ao centro. Isto vem da definição de campo elétrico radial de uma carga puntiforme e integração do campo para obter potencial.
  • Para uma casca esférica com densidade radial \rho(r'), a carga de uma casquinha de raio r' e espessura dr' é
dq = 4\pi r'^{2}\rho(r')\,dr'.
Para r fixo com R_{1}<r<R_{2} a contribuição total ao potencial da casca é
V_{\text{casca}}(r)=k\left(\int_{R_{1}}^{r}\frac{dq}{r}+\int_{r}^{R_{2}}\frac{dq}{r'}\right),
pois casquinhas internas agem como dq no centro (dividido por r) e casquinhas externas contribuem por dq/r'.

Passo 4

Aplicando \rho(r')=4r'^{6} e dq=4\pi r'^{2}\rho(r')\,dr'=16\pi r'^{8}\,dr', substituímos nas integrais:
V(r)=k\left(\frac{q_{0}}{r}+\int_{R_{1}}^{r}\frac{16\pi r'^{8}}{r}\,dr' + \int_{r}^{R_{2}}\frac{16\pi r'^{8}}{r'}\,dr'\right).
Simplificando as integrais:
\int_{R_{1}}^{r}\frac{16\pi r'^{8}}{r}\,dr'=\frac{16\pi}{r}\int_{R_{1}}^{r} r'^{8}\,dr'=\frac{16\pi}{r}\left[\frac{r'^{9}}{9}\right]_{R_{1}}^{r}=\frac{16\pi}{9}\cdot\frac{r^{9}-R_{1}^{9}}{r},
\int_{r}^{R_{2}}\frac{16\pi r'^{8}}{r'}\,dr'=16\pi\int_{r}^{R_{2}} r'^{7}\,dr'=16\pi\left[\frac{r'^{8}}{8}\right]_{r}^{R_{2}}=2\pi\left(R_{2}^{8}-r^{8}\right).
Logo a expressão final exata para o potencial é
\boxed{\,V(r)=k\left(\frac{q_{0}}{r}+\frac{16\pi}{9}\cdot\frac{r^{9}-R_{1}^{9}}{r}+2\pi\bigl(R_{2}^{8}-r^{8}\bigr)\right)\,}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos e fazemos os cálculos passo a passo (vou apresentar cada resultado em notação científica com duas casas decimais, conforme pedido).\n
Primeiro, calculemos q_{0}/r:
\frac{q_{0}}{r}=\frac{16}{2{,}9}=5{,}517241379\quad\Rightarrow\quad k\frac{q_{0}}{r}=8{,}99\times10^{9}\times5{,}517241379=4{,}96\times10^{10}.
Em seguida calculemos r^{8} e r^{9} e R_{1}^{9}, R_{2}^{8} (mostrando valores usados):
r^{8}\approx5{,}002{,}49\times10^{3},\qquad r^{9}\approx1{,}4507{,}23\times10^{4},
R_{1}^{9}=2^{9}=5{,}12\times10^{2},\qquad R_{2}^{8}\approx5{,}34597\times10^{5}.
Agora o termo interno da primeira integral (antes de dividir por r):
\frac{16\pi}{9}\bigl(r^{9}-R_{1}^{9}\bigr)\approx7{,}82\times10^{4}.
Dividindo por r=2{,}9:
\frac{16\pi}{9}\cdot\frac{r^{9}-R_{1}^{9}}{r}\approx2{,}70\times10^{4}.
Multiplicando por k:
k\cdot\frac{16\pi}{9}\cdot\frac{r^{9}-R_{1}^{9}}{r}\approx8{,}99\times10^{9}\times2{,}70\times10^{4}=2{,}42\times10^{14}.
Agora o segundo termo da casca:
2\pi\bigl(R_{2}^{8}-r^{8}\bigr)\approx3{,}33\times10^{6}.
Multiplicando por k:
k\cdot 2\pi\bigl(R_{2}^{8}-r^{8}\bigr)\approx8{,}99\times10^{9}\times3{,}33\times10^{6}=2{,}99\times10^{16}.

Passo 6

Somando todas as contribuições (todas em volt):
V(r)\approx \underbrace{4{,}96\times10^{10}}_{\text{esfera condutora}}+\underbrace{2{,}42\times10^{14}}_{\text{parte interna da casca}}+\underbrace{2{,}99\times10^{16}}_{\text{parte externa da casca}}.
Somando e arredondando o resultado final em notação científica com duas casas decimais:
V(2{,}9\\ \mathrm{m})\approx3{,}02\times10^{16}\\ \mathrm{V}.

Resposta

3{,}02\times10^{16}\\ \mathrm{V}

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