Questão 2 [
pontos]: Uma esfera condutora de carga
e raio
é coberta por uma casca esférica isolante de raio interno
, raio externo
e densidade volumétrica de carga
. Use a constante da Lei de Coulomb como
e utilize duas casas decimais (em notação científica) para todas suas operações e cálculos.
Assumindo um potencial elétrico nulo no infinito, determine o potencial elétrico a uma distância
do centro da esfera.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o potencial elétrico em
medido a partir do centro, tomando o potencial nulo no infinito.\n
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Observação importante: o ponto onde queremos o potencial
satisfaz
(ou seja, está dentro da casca isolante, entre as duas superfícies esféricas).
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): por superposição, o potencial total em um ponto é soma do potencial devido à esfera condutora (carga
localizada na superfície em
, que para
age como carga puntiforme no centro) mais o potencial gerado pela distribuição volumétrica da casca entre
e
.\n
Para calcular a contribuição da casca usaremos a simetria esférica: dividir a casca em casquinhas esféricas de raio e espessura
com carga
. Cada casquinha com
contribui como carga concentrada no centro (
); cada casquinha com
contribui por
. Assim montamos integrais em
de
até
e de
até
.
Para calcular a contribuição da casca usaremos a simetria esférica: dividir a casca em casquinhas esféricas de raio
Passo 3
Fórmulas básicas que usaremos (explicadas):
- Potencial de carga puntiforme ou de uma carga total
localizada no centro, em distância :
onde
é a constante da lei de Coulomb e
a distância do ponto ao centro. Isto vem da definição de campo elétrico radial de uma carga puntiforme e integração do campo para obter potencial.
- Para uma casca esférica com densidade radial
, a carga de uma casquinha de raio e espessura é
Para
fixo com
a contribuição total ao potencial da casca é
pois casquinhas internas agem como
no centro (dividido por
) e casquinhas externas contribuem por
.
Passo 4
Aplicando
e
, substituímos nas integrais:
Simplificando as integrais:
Logo a expressão final exata para o potencial é
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos e fazemos os cálculos passo a passo (vou apresentar cada resultado em notação científica com duas casas decimais, conforme pedido).\n
Primeiro, calculemos :
Primeiro, calculemos
Em seguida calculemos
e
e
,
(mostrando valores usados):
Agora o termo interno da primeira integral (antes de dividir por
):
Dividindo por
:
Multiplicando por
:
Agora o segundo termo da casca:
Multiplicando por
:
Passo 6
Somando todas as contribuições (todas em volt):
Somando e arredondando o resultado final em notação científica com duas casas decimais: