Como
e
são um conjunto de vetores unitários, perpendiculares entre si,
em que
Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
são vetores unitários e mutuamente perpendiculares, portanto
onde
se
e
se
.
Também aparece na igualdade que queremos mostrar a notação . Vamos tomar como dado (ou então definir, pois é o uso padrão) que
são as componentes de
na base ortonormal padrão
; isto é, para cada
vale
Também aparece na igualdade que queremos mostrar a notação
Resumo das informações relevantes:
-
é unitário e ortogonal aos outros: . - Os
são os coeficientes da expansão de na base ortonormal : .
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro vamos justificar uma relação útil entre
e produto escalar. Tomando a expansão
e fazendo o produto escalar com
(um vetor da base ortonormal), obtemos, usando linearidade do produto escalar,
Como a base
é ortonormal,
. Assim a soma colapsa e ficamos com
Portanto cada componente
é obtida como produto escalar
Passo 3
Agora vamos escrever o produto escalar entre dois vetores da base primada usando suas expansões. Usando as expansões para
e
,
Fazendo o produto escalar entre eles e aplicando bilinearidade do produto escalar,
Passo 4
Usando que a base
é ortonormal, substituímos
na soma dupla do passo anterior. Isso elimina a soma sobre
e deixa apenas uma soma simples:
Note que trocamos
por
na segunda parcela porque o
força
.
Passo 5
Finalmente, como a própria definição do conjunto
garante que ele é ortonormal, sabemos que
Comparando com o resultado do passo anterior concluímos a igualdade desejada:
Uma interpretação útil: a matriz
tem linhas (ou colunas, dependendo da convenção) ortonormais, logo
, que é a expressão matricial desse mesmo resultado.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar a intuição: em duas dimensões, uma rotação de ângulo
tem
e verifica-se que
, ilustrando a propriedade em ação.