Como \hat{e}_{1}{ }^{\prime}, \hat{e}_{2}{ }^{\prime} e \hat{e}_{3}{ }^{\prime} são um conjunto de vetores unitários, perpendiculares entre si, \hat{e}_{i}{ }^{\prime} \cdot \hat{e}_{k}{ }^{\prime}=\delta_{i k} em que
\delta_{i k}=0, \text { se } i \neq k ; \quad \delta_{i k}=1, \text { se } i=k
Mostre que
\hat{e}_{i}^{\prime} \cdot \hat{e}_{k}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} a_{k j}=\delta_{i k}

Passo 1

O enunciado diz que \hat{e}_{1}^{\prime},\hat{e}_{2}^{\prime},\hat{e}_{3}^{\prime} são vetores unitários e mutuamente perpendiculares, portanto
\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{k}^{\prime}=\delta_{ik},
onde \delta_{ik}=0 se i\neq k e \delta_{ik}=1 se i=k.
Também aparece na igualdade que queremos mostrar a notação a_{ij}. Vamos tomar como dado (ou então definir, pois é o uso padrão) que a_{ij} são as componentes de \hat{e}_{i}^{\prime} na base ortonormal padrão \{\hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3}\}; isto é, para cada i vale
\hat{e}_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,\hat{e}_{j}.
Resumo das informações relevantes:
  • \hat{e}_{i}^{\prime} é unitário e ortogonal aos outros: \hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{k}^{\prime}=\delta_{ik}.
  • Os a_{ij} são os coeficientes da expansão de \hat{e}_{i}^{\prime} na base ortonormal \{\hat{e}_j\}: \hat{e}_{i}^{\prime}=\sum_{j}a_{ij}\hat{e}_j.
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro vamos justificar uma relação útil entre a_{ij} e produto escalar. Tomando a expansão
\hat{e}_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,\hat{e}_{j},
e fazendo o produto escalar com \hat{e}_{m} (um vetor da base ortonormal), obtemos, usando linearidade do produto escalar,
\hat{e}_{m}\cdot\hat{e}_{i}^{\prime}=\hat{e}_{m}\cdot\left(\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,\hat{e}_{j}\right)=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,(\hat{e}_{m}\cdot\hat{e}_{j}).
Como a base \{\hat{e}_j\} é ortonormal, \hat{e}_{m}\cdot\hat{e}_{j}=\delta_{mj}. Assim a soma colapsa e ficamos com
\hat{e}_{m}\cdot\hat{e}_{i}^{\prime}=a_{im}.
Portanto cada componente a_{im} é obtida como produto escalar
a_{im}=\hat{e}_{m}\cdot\hat{e}_{i}^{\prime}.

Passo 3

Agora vamos escrever o produto escalar entre dois vetores da base primada usando suas expansões. Usando as expansões para \hat{e}_{i}^{\prime} e \hat{e}_{k}^{\prime},
\hat{e}_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,\hat{e}_{j},\qquad \hat{e}_{k}^{\prime}=\sum_{\ell=1}^{3} a_{k\ell}\,\hat{e}_{\ell}.
Fazendo o produto escalar entre eles e aplicando bilinearidade do produto escalar,
\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{k}^{\prime} =\left(\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,\hat{e}_{j}\right)\cdot\left(\sum_{\ell=1}^{3} a_{k\ell}\,\hat{e}_{\ell}\right) =\sum_{j=1}^{3}\sum_{\ell=1}^{3} a_{ij}\,a_{k\ell}\,(\hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{\ell}).

Passo 4

Usando que a base \{\hat{e}_j\} é ortonormal, substituímos \hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{\ell}=\delta_{j\ell} na soma dupla do passo anterior. Isso elimina a soma sobre \ell e deixa apenas uma soma simples:
\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{k}^{\prime} =\sum_{j=1}^{3}\sum_{\ell=1}^{3} a_{ij}\,a_{k\ell}\,\delta_{j\ell} =\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,a_{kj}.
Note que trocamos \ell por j na segunda parcela porque o \delta_{j\ell} força \ell=j.

Passo 5

Finalmente, como a própria definição do conjunto \{\hat{e}_{i}^{\prime}\} garante que ele é ortonormal, sabemos que
\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{k}^{\prime}=\delta_{ik}.
Comparando com o resultado do passo anterior concluímos a igualdade desejada:
\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,a_{kj}=\delta_{ik}.
Uma interpretação útil: a matriz A=(a_{ij}) tem linhas (ou colunas, dependendo da convenção) ortonormais, logo A A^{T}=I, que é a expressão matricial desse mesmo resultado.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a intuição: em duas dimensões, uma rotação de ângulo \theta tem
a_{11}=\cos\theta,\quad a_{12}=\sin\theta,\quad a_{21}=-\sin\theta,\quad a_{22}=\cos\theta,
e verifica-se que \sum_{j=1}^{2} a_{1j}a_{2j}= \cos\theta(-\sin\theta)+\sin\theta\cos\theta=0=\delta_{12}, ilustrando a propriedade em ação.

Resposta

\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{k}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{ij} a_{kj}=\delta_{ik}

Exercícios relacionados