Um tensor qualquer
pode ser escrito, em termos de seus componentes, como
em que
e
são os componentes de
nos sistemas com linha e sem linha, respectivamente. Mostre que
Assim, define-se algebricamente um tensor como um conjunto de 9 componentes que se transformam de acordo com a regra dada pela eq. (27) quando passamos de um sistema (sem linha) para outro (com linha).
Passo 1
O enunciado dá que um tensor qualquer
pode ser escrito nas duas bases (com
' e sem ') pelas expansõese
As perguntas são: provar que
e também que
As informações relevantes que temos são as duas escritas do mesmo tensor em bases diferentes e a presença dos coeficientes
(a serem relacionados às bases). Não há figura faltando: tudo o que é necessário para provar as igualdades está nas expansões dadas.
Passo 2
Primeiro precisamos relacionar as bases entre si. Definimos os coeficientes
Essa é a escolha natural:
é o cosseno do ângulo entre
e
. Usando linearidade da expansão de vetores, podemos escrever cada vetor da base primada em função da base sem linha:
Para ver por que isso é válido, basta projetar ambos os lados sobre
:
, que coincide com a definição
. Aqui estamos supondo as bases ortonormais (caso típico em física/engenharia), o que torna
e torna essa manipulação direta.
Passo 3
Agora substituímos a expressão de
em termos de
na expansão do tensor em primadas:
Desenvolvendo os produtos e trocando a ordem das somas (tudo finito, então permitido), obtemos
Como a expansão do tensor na base sem linha é única, os coeficientes que multiplicam
nessa expressão são exatamente os componentes
. Portanto chegamos à fórmula de transformação
Passo 4
Mostremos a forma com produtos escalares
. Começamos com a definição de
por componentes:
Aplicando contração à esquerda por
e à direita por
(isto é, tomar
), por linearidade temos
Usando a definição
e
, obtemos
Comparando com o resultado do passo anterior, vemos que
que é exatamente a primeira igualdade pedida.
Passo 5
Agora a relação inversa. Como
e as bases são ortonormais, a matriz
é ortogonal (ou seja
). Dessa propriedade segue que cada vetor da base sem linha pode ser escrito em função da base primada por
pois essa é a relação inversa da do Passo 2 (essa expressão pode ser obtida trocando primed/unprimed ou usando
). Substituímos essa expressão na expansão
e procedemos como antes:
Pela unicidade da expansão na base primada, os coeficientes devem coincidir com
. Assim
Também se pode obter essa expressão escrevendo a contração direta
confirmando a igualdade pedida.
Passo 6
Para organizar a ideia em linguagem matricial (útil na prova): definindo a matriz
com entradas
, e as matrizes de componentes
e
com entradas
e
, as relações compactas são
e, invertendo,
o que resume a transformação de componentes de um tensor de segunda ordem quando mudamos de base por uma matriz ortogonal
. Em palavras: um tensor é um conjunto de 9 números cuja transformação entre bases obedece a essa regra bilinear com dois fatores de
.