Um tensor qualquer \mathbf{T} pode ser escrito, em termos de seus componentes, como
\mathbf{T}=\sum_{i, k=1}^{3} T_{i k}^{\prime} \hat{e}_{i}^{\prime} \hat{e}_{k}^{\prime}=\sum_{j, l=1}^{3} T_{j l} \hat{e}_{j} \hat{e}_{l}
em que T_{i k}^{\prime} e T_{j l} são os componentes de \mathbf{T} nos sistemas com linha e sem linha, respectivamente. Mostre que
T_{j l}=\hat{e}_{j} \cdot \mathbf{T}^{\prime} \cdot \hat{e}_{l}=\sum_{i, k=1}^{3} a_{i j} a_{k l} T_{i k}^{\prime}, \quad T_{i k}^{\prime}=\hat{e}_{i}^{\prime} \cdot \mathbf{T} \cdot \hat{e}_{l}^{\prime}=\sum_{j, l=1}^{3} a_{i j} a_{k l} T_{j l}
Assim, define-se algebricamente um tensor como um conjunto de 9 componentes que se transformam de acordo com a regra dada pela eq. (27) quando passamos de um sistema (sem linha) para outro (com linha).

Passo 1

O enunciado dá que um tensor qualquer \mathbf{T} pode ser escrito nas duas bases (com ' e sem ') pelas expansões
\mathbf{T}=\sum_{i,k=1}^{3} T_{ik}^{\prime}\,\hat{e}_{i}^{\prime}\hat{e}_{k}^{\prime}
e
\mathbf{T}=\sum_{j,l=1}^{3} T_{jl}\,\hat{e}_{j}\hat{e}_{l}.
As perguntas são: provar que
T_{jl}=\hat{e}_{j}\cdot\mathbf{T}^{\prime}\cdot\hat{e}_{l}=\sum_{i,k=1}^{3} a_{ij}\,a_{kl}\,T_{ik}^{\prime}
e também que
T_{ik}^{\prime}=\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\mathbf{T}\cdot\hat{e}_{k}^{\prime}=\sum_{j,l=1}^{3} a_{ij}\,a_{kl}\,T_{jl}.
As informações relevantes que temos são as duas escritas do mesmo tensor em bases diferentes e a presença dos coeficientes a_{pq} (a serem relacionados às bases). Não há figura faltando: tudo o que é necessário para provar as igualdades está nas expansões dadas.

Passo 2

Primeiro precisamos relacionar as bases entre si. Definimos os coeficientes
a_{ij}=\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{j}.
Essa é a escolha natural: a_{ij} é o cosseno do ângulo entre \hat{e}_{i}^{\prime} e \hat{e}_{j}. Usando linearidade da expansão de vetores, podemos escrever cada vetor da base primada em função da base sem linha:
\hat{e}_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,\hat{e}_{j}.
Para ver por que isso é válido, basta projetar ambos os lados sobre \hat e_m: \hat e_m\cdot\hat e_i' = \sum_j a_{ij} (\hat e_m\cdot\hat e_j)=a_{im}, que coincide com a definição a_{im}=\hat e_i'\cdot\hat e_m. Aqui estamos supondo as bases ortonormais (caso típico em física/engenharia), o que torna \hat e_m\cdot\hat e_j=\delta_{mj} e torna essa manipulação direta.

Passo 3

Agora substituímos a expressão de \hat{e}_{i}^{\prime} em termos de \hat{e}_{j} na expansão do tensor em primadas:
\mathbf{T}=\sum_{i,k=1}^{3} T_{ik}^{\prime}\,\hat{e}_{i}^{\prime}\hat{e}_{k}^{\prime} =\sum_{i,k=1}^{3} T_{ik}^{\prime}\left(\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\hat{e}_{j}\right)\left(\sum_{l=1}^{3} a_{kl}\hat{e}_{l}\right).
Desenvolvendo os produtos e trocando a ordem das somas (tudo finito, então permitido), obtemos
\mathbf{T}=\sum_{j,l=1}^{3}\left(\sum_{i,k=1}^{3} a_{ij}\,a_{kl}\,T_{ik}^{\prime}\right)\hat{e}_{j}\hat{e}_{l}.
Como a expansão do tensor na base sem linha é única, os coeficientes que multiplicam \hat{e}_{j}\hat{e}_{l} nessa expressão são exatamente os componentes T_{jl}. Portanto chegamos à fórmula de transformação
T_{jl}=\sum_{i,k=1}^{3} a_{ij}\,a_{kl}\,T_{ik}^{\prime}.

Passo 4

Mostremos a forma com produtos escalares \hat{e}_{j}\cdot\mathbf{T}^{\prime}\cdot\hat{e}_{l}. Começamos com a definição de \mathbf{T}^{\prime} por componentes:
\mathbf{T}^{\prime}=\sum_{i,k=1}^{3} T_{ik}^{\prime}\,\hat{e}_{i}^{\prime}\hat{e}_{k}^{\prime}.
Aplicando contração à esquerda por \hat{e}_{j} e à direita por \hat{e}_{l} (isto é, tomar \hat{e}_{j}\cdot(\cdot)\cdot\hat{e}_{l}), por linearidade temos
\hat{e}_{j}\cdot\mathbf{T}^{\prime}\cdot\hat{e}_{l} =\sum_{i,k=1}^{3} T_{ik}^{\prime}\,(\hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{i}^{\prime})(\hat{e}_{k}^{\prime}\cdot\hat{e}_{l}).
Usando a definição a_{ij}=\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{j}=\hat{e}_{j}\cdot\hat{e}_{i}^{\prime} e \hat{e}_{k}^{\prime}\cdot\hat{e}_{l}=a_{kl}, obtemos
\hat{e}_{j}\cdot\mathbf{T}^{\prime}\cdot\hat{e}_{l} =\sum_{i,k=1}^{3} a_{ij}\,a_{kl}\,T_{ik}^{\prime}.
Comparando com o resultado do passo anterior, vemos que
T_{jl}=\hat{e}_{j}\cdot\mathbf{T}^{\prime}\cdot\hat{e}_{l}=\sum_{i,k=1}^{3} a_{ij}\,a_{kl}\,T_{ik}^{\prime},
que é exatamente a primeira igualdade pedida.

Passo 5

Agora a relação inversa. Como a_{ij}=\hat e_i'\cdot\hat e_j e as bases são ortonormais, a matriz A=(a_{ij}) é ortogonal (ou seja A^{-1}=A^{T}). Dessa propriedade segue que cada vetor da base sem linha pode ser escrito em função da base primada por
\hat{e}_{j}=\sum_{i=1}^{3} a_{ij}\,\hat{e}_{i}^{\prime},
pois essa é a relação inversa da do Passo 2 (essa expressão pode ser obtida trocando primed/unprimed ou usando A^{-1}=A^{T}). Substituímos essa expressão na expansão
\mathbf{T}=\sum_{j,l=1}^{3} T_{jl}\,\hat{e}_{j}\hat{e}_{l}
e procedemos como antes:
\mathbf{T}=\sum_{j,l=1}^{3} T_{jl}\left(\sum_{i=1}^{3} a_{ij}\hat{e}_{i}^{\prime}\right)\left(\sum_{k=1}^{3} a_{kl}\hat{e}_{k}^{\prime}\right) =\sum_{i,k=1}^{3}\left(\sum_{j,l=1}^{3} a_{ij}\,a_{kl}\,T_{jl}\right)\hat{e}_{i}^{\prime}\hat{e}_{k}^{\prime}.
Pela unicidade da expansão na base primada, os coeficientes devem coincidir com T_{ik}^{\prime}. Assim
T_{ik}^{\prime}=\sum_{j,l=1}^{3} a_{ij}\,a_{kl}\,T_{jl}.
Também se pode obter essa expressão escrevendo a contração direta
\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\mathbf{T}\cdot\hat{e}_{k}^{\prime} =\sum_{j,l=1}^{3} T_{jl}\,(\hat{e}_{i}^{\prime}\cdot\hat{e}_{j})(\hat{e}_{l}\cdot\hat{e}_{k}^{\prime}) =\sum_{j,l=1}^{3} a_{ij}\,a_{kl}\,T_{jl},
confirmando a igualdade pedida.

Passo 6

Para organizar a ideia em linguagem matricial (útil na prova): definindo a matriz A com entradas A_{ij}=a_{ij}, e as matrizes de componentes T e T' com entradas T_{jl} e T'_{ik}, as relações compactas são
T = A^{T} T' A
e, invertendo,
T' = A T A^{T},
o que resume a transformação de componentes de um tensor de segunda ordem quando mudamos de base por uma matriz ortogonal A. Em palavras: um tensor é um conjunto de 9 números cuja transformação entre bases obedece a essa regra bilinear com dois fatores de A.

Resposta

T_{j l}=\hat{e}_{j} \cdot \mathbf{T}^{\prime} \cdot \hat{e}_{l}=\sum_{i, k=1}^{3} a_{i j} a_{k l} T_{i k}^{\prime}\n
T_{i k}^{\prime}=\hat{e}_{i}^{\prime} \cdot \mathbf{T} \cdot \hat{e}_{k}^{\prime}=\sum_{j, l=1}^{3} a_{i j} a_{k l} T_{j l}

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