Considere dois solenoides coaxiais de raios r_{1} e r_{2}, cada um conectado a um circuito distinto. O solenoide de raio r_{1} está ligado a uma fonte que mantém um potencial V=V_{0} \cos (\omega t). O outro solenoide está conectado a um circuito que contém, além do solenoide, uma única resistência.
(a) Determine as autoindutâncias de cada solenoide e a indutância mútua entre ambos. (1,0p)
(b) Determine a força eletromotriz gerada no solenoide de raio r_{2} devido a corrente no solenoide de raio r_{1} .(1,0 \mathrm{p})
(c) Determine a corrente que passa por ambos os solenoides. ( 1,0 \mathrm{p} )

Passo 1

O enunciado descreve dois solenoides longos, coaxiais, de mesmo comprimento \ell e raios r_{1} e r_{2}, com N_{1} e N_{2} espiras cada um. O solenoide de raio r_{1} é alimentado por uma tensão alternada V(t)=V_{0}\cos(\omega t) e o de raio r_{2} está em série com uma resistência R. Vamos:
  1. Calcular as autoindutâncias L_{1} e L_{2} e a indutância mútua M.
  2. Usar a lei de Faraday para a fem induzida no segundo solenoide.
  3. Escrever as equações de malha em regime senoidal e encontrar as correntes I_{1} e I_{2}.

Passo 2

Para um solenoide longo de N espiras, área da seção A=\pi r^{2} e comprimento \ell, o campo interno é
B = \mu_{0}\,\frac{N}{\ell}\,I.
O fluxo por espira é \varphi = B\,A = \mu_{0}\,\frac{N}{\ell}\,I\,\pi r^{2}. Multiplicando por N obtemos o fluxo total ligado, \Phi = N\varphi = L\,I, de onde
L = \mu_{0}\,\frac{N^{2}\,\pi r^{2}}{\ell}.
Logo,
L_{1} = \mu_{0}\,\frac{N_{1}^{2}\,\pi r_{1}^{2}}{\ell}, \qquad L_{2} = \mu_{0}\,\frac{N_{2}^{2}\,\pi r_{2}^{2}}{\ell}.
Para a indutância mútua, note que o fluxo de I_{1} que atravessa o solenoide 2 tem área de sobreposição \pi\min(r_{1}^{2},r_{2}^{2}). Supondo r_{1}\le r_{2},
M = \mu_{0}\,\frac{N_{1}N_{2}\,\pi r_{1}^{2}}{\ell}.
Se r_{2}<r_{1}, basta trocar r_{1} por r_{2} em \pi r^{2}.

Passo 3

A força eletromotriz induzida no solenoide 2 pela variação de I_{1} é, pela lei de Faraday,
\varepsilon_{2} = -\,\frac{d\Phi_{21}}{dt} = -\,M\,\frac{dI_{1}}{dt}.
Em regime senoidal, se I_{1}(t)=\hat I_{1}\cos(\omega t), então
\varepsilon_{2}(t) = -M\,(-\omega \hat I_{1}\sin\omega t) = M\,\omega\,\hat I_{1}\,\sin(\omega t).

Passo 4

Escrevemos as equações de malha no domínio dos fasores. Denotando por \underline V o fasor de V(t), e \underline I_{1},\underline I_{2} os de I_{1},I_{2}, temos
\underline V = j\omega L_{1}\,\underline I_{1} \;+\; j\omega M\,\underline I_{2},
0 = j\omega M\,\underline I_{1} \;+\;(R + j\omega L_{2})\,\underline I_{2}.
Da segunda equação,
\underline I_{2} = -\,\frac{j\omega M}{R + j\omega L_{2}}\;\underline I_{1}.
Substituindo na primeira:
\underline V = \underline I_{1}\Bigl[j\omega L_{1} \;+\;\omega^{2}\frac{M^{2}}{R + j\omega L_{2}}\Bigr].
Logo,
\underline I_{1} = \frac{\underline V} {j\omega L_{1} + \displaystyle\omega^{2}\frac{M^{2}}{R + j\omega L_{2}}},
\underline I_{2} = -\,\frac{j\omega M}{R + j\omega L_{2}}\; \underline I_{1}.
Desses fasores obtém-se as correntes temporais I_{1}(t) e I_{2}(t) em regime permanente.

Resposta

(a)
L_{1} = \mu_{0}\,\frac{N_{1}^{2}\,\pi r_{1}^{2}}{\ell}, \quad L_{2} = \mu_{0}\,\frac{N_{2}^{2}\,\pi r_{2}^{2}}{\ell}, \quad M = \mu_{0}\,\frac{N_{1}N_{2}\,\pi \min(r_{1}^{2},r_{2}^{2})}{\ell}.
(b)
\varepsilon_{2}(t) = -\,M\,\frac{dI_{1}}{dt}.
(c) Em fasores,
\underline I_{1} = \frac{\underline V} {j\omega L_{1} + \omega^{2}M^{2}/(R + j\omega L_{2})}, \qquad \underline I_{2} = -\,\frac{j\omega M}{R + j\omega L_{2}}\;\underline I_{1}.

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