Considere um fio infinito e uma espira retangular, de lados com tamanhos a e b, posicionados a uma distância c um do outro. Considere que há uma corrente \vec{I}=I \hat{y} no fio infinito. A espira é composta por um material elástico que permite sua deformação em qualquer direção.
Determine a força eletromotriz gerada na espira, considerando que a corrente I varia no tempo segundo a equação I(t)=I \operatorname{tanh} \left(\frac{t}{\tau}\right). Qual a corrente induzida na espira pelo fio, se sua resistência é R ? Qual é a direção da corrente?

Passo 1

O enunciado tem um fio retilíneo infinito, transportando corrente \vec I(t)=I\,\operatorname{tanh}(t/\tau)\,\hat y, e uma espira retangular, de lado a na direção x e lado b na direção y, ambas contidas no plano z=0, com o fio em x=0 e a espira ocupando c\le x\le c+a, 0\le y\le b. O conteúdo é a Lei de Faraday–Neumann–Lenz:
\mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt},
onde \Phi é o fluxo magnético através da espira, e a corrente induzida vem pela relação i=\mathcal{E}/R.

Passo 2

Calculamos o campo magnético do fio em cada ponto da espira. Num ponto de coordenada (x,y,0), a distância ao fio é r=x e, pelo resultado para fio infinito,
\vec B(x)=\frac{\mu_0\,I(t)}{2\pi\,x}\,\hat\varphi.
No plano z=0, a componente \hat\varphi coincide com \hat z para x>0. Logo, dentro da espira
B_z(x)=\frac{\mu_0\,I(t)}{2\pi\,x}\,,\quad B_x=0,\;B_y=0.

Passo 3

O fluxo magnético pela área da espira (plano xy, normal \hat z) é
\Phi(t)=\iint B_z\,dA =\int_{y=0}^{b}\!\int_{x=c}^{c+a}\frac{\mu_0\,I(t)}{2\pi\,x}\,dx\,dy =b\,\frac{\mu_0\,I(t)}{2\pi}\int_{c}^{c+a}\frac{dx}{x} =\frac{\mu_0\,b\,I(t)}{2\pi}\ln\!\biggl(\frac{c+a}{c}\biggr).

Passo 4

Aplicando a Lei de Faraday,
\mathcal{E}(t)=-\frac{d\Phi}{dt} =-\frac{\mu_0\,b}{2\pi}\ln\!\biggl(\frac{c+a}{c}\biggr)\,\frac{dI}{dt}.

Passo 5

Como I(t)=I\,\operatorname{tanh}\!\bigl(t/\tau\bigr), temos
\frac{dI}{dt} =I\,\frac{d}{dt}\bigl[\operatorname{tanh}(t/\tau)\bigr] =I\,\frac{1}{\tau}\sech^2\!\bigl(t/\tau\bigr).
Logo
\boxed{\mathcal{E}(t) =-\frac{\mu_0\,b\,I}{2\pi\,\tau}\,\ln\!\biggl(\frac{c+a}{c}\biggr)\,\sech^2\!\bigl(\tfrac{t}{\tau}\bigr).}

Passo 6

A corrente induzida i(t), considerando resistência R, tem módulo
i(t)=\frac{|\mathcal{E}(t)|}{R} =\frac{\mu_0\,b\,I}{2\pi\,R\,\tau}\,\ln\!\biggl(\frac{c+a}{c}\biggr)\,\sech^2\!\bigl(\tfrac{t}{\tau}\bigr).

Passo 7

Para o sinal e direção, note que dI/dt>0 em t>0 faz \Phi aumentar para fora do plano +\hat z; pela regra de Lenz a corrente induzida gera campo para dentro (− \hat z), ou seja, circula no sentido horário visto de cima +z.

Resposta

\displaystyle\mathcal{E}(t)=-\frac{\mu_0\,b\,I}{2\pi\,\tau}\,\ln\!\bigl(\tfrac{c+a}{c}\bigr)\,\sech^2\!\bigl(\tfrac{t}{\tau}\bigr). \displaystyle i(t)=\frac{\mu_0\,b\,I}{2\pi\,R\,\tau}\,\ln\!\bigl(\tfrac{c+a}{c}\bigr)\,\sech^2\!\bigl(\tfrac{t}{\tau}\bigr), no sentido horário visto de cima.

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