Considere um fio infinito e uma espira retangular, de lados com tamanhos a e b, posicionados a uma distância c um do outro. Considere que há uma corrente \vec{I}=I \hat{y} no fio infinito. A espira é composta por um material elástico que permite sua deformação em qualquer direção.
Determine a força eletromotriz gerada na espira, considerando que seu tamanho paralelo à direção da corrente do fio é modificado no tempo segundo a equação y(t)=\frac{2 a}{1+e^{\frac{t}{\tau}}}, onde y(t) representa a largura da espira. Qual a corrente induzida na espira pelo fio, se sua resistência é R ? Qual é a direção da corrente?

Passo 1

O enunciado descreve um fio retilíneo infinito, percorrido por corrente \vec I=I\,\hat y, e uma espira retangular cujos lados são paralelos a y (direção da corrente) e a direção radial ao fio. A espira está “a cavaleiro” do fio, de modo que o lado mais próximo fica a distância c e o mais afastado a c+b do eixo do fio. A largura da espira ao longo de y varia no tempo segundo
y(t)=\frac{2a}{1+e^{t/\tau}}\!,
diminuindo de a para zero. Precisamos determinar a fem induzida na espira (usando a Lei de Faraday) e, em seguida, a corrente induzida sabendo que sua resistência é R. Finalmente, identificamos a direção dessa corrente via Lenz.

Passo 2

O campo magnético produzido pelo fio infinito, em módulo, a uma distância radial r do fio é
B(r)=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}\,,
e suas linhas são circunferências em planos perpendiculares ao eixo y.

Passo 3

Escolhemos a área da espira no plano definido pelas direções radial r e y, com vetor normal em \hat\varphi. O fluxo magnético é
\Phi(t) =\int_{\text{espira}} \!B(r)\,\mathrm{d}A =\int_{y=0}^{y(t)}\!\!\int_{r=c}^{c+b}\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,r}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}y =\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\,y(t)\,\int_{c}^{c+b}\frac{\mathrm{d}r}{r} =\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\,y(t)\,\ln\!\biggl(\frac{c+b}{c}\biggr).

Passo 4

Pela Lei de Faraday, a fem induzida é
\mathcal{E}(t) =-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} =-\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\,\ln\!\biggl(\frac{c+b}{c}\biggr)\,\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}.
Como
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl[\frac{2a}{1+e^{t/\tau}}\Bigr] =-\frac{2a}{\tau}\,\frac{e^{t/\tau}}{\bigl(1+e^{t/\tau}\bigr)^{2}},
então
\boxed{ \mathcal{E}(t) =\;+\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\,\ln\!\biggl(\frac{c+b}{c}\biggr)\;\frac{2a}{\tau}\, \frac{e^{t/\tau}}{\bigl(1+e^{t/\tau}\bigr)^{2}}\,. }

Passo 5

A corrente induzida na espira, obedecendo \mathcal{E}=R\,I_{\rm ind}, é
\boxed{ I_{\rm ind}(t) =\frac{\mathcal{E}(t)}{R} =\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,R}\,\ln\!\biggl(\frac{c+b}{c}\biggr)\;\frac{2a}{\tau}\, \frac{e^{t/\tau}}{(1+e^{t/\tau})^{2}}\,. }

Passo 6

Como y(t) decresce \dot y<0, o fluxo magnético está diminuindo. Pela Lei de Lenz, a corrente induzida circula de modo a produzir campo magnético no mesmo sentido do campo original do fio, o que se obtém fazendo com que, no lado da espira mais próximo ao fio, a corrente vá em sentido oposto à corrente I do fio.

Resposta

\displaystyle \mathcal{E}(t) =+\frac{\mu_{0}I}{2\pi}\,\ln\!\bigl(\tfrac{c+b}{c}\bigr)\,\frac{2a}{\tau}\, \frac{e^{t/\tau}}{(1+e^{t/\tau})^{2}}, \displaystyle I_{\rm ind}(t) =\frac{\mathcal{E}(t)}{R} =\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,R}\,\ln\!\bigl(\tfrac{c+b}{c}\bigr)\,\frac{2a}{\tau}\, \frac{e^{t/\tau}}{(1+e^{t/\tau})^{2}}, e a corrente induzida na porção da espira mais próxima ao fio flui em sentido contrário ao sentido de I no fio, para opor a diminuição do fluxo.

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