Suponha que numa amostra de 60 circuitos integrados fabricados por certa companhia se obteve um valor médio do tempo de vida igual a 920 horas, e desvio padrão de 91 horas. (a) Qual é a probabilidade de que o erro de estimativa da vida média não ultrapasse as 20 horas? (b) Qual deveria ser o tamanho da amostra de forma que o erro da vida média não ultrapasse as 20 horas, com probabilidade de pelo menos 0,95?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o tempo de vida de circuitos integrados. A gente tem uma amostra de 60 produtos, com média de 920 horas e desvio padrão de 91 horas. Vamos precisar usar conceitos de estatística, como distribuição normal e erro de estimativa, pra responder as duas partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a): queremos saber a probabilidade de que o erro na estimativa da média não passe de 20 horas. Isso significa que queremos saber a chance de a média real estar entre 900 e 940 horas (920 ± 20).
Passo 3
Para calcular isso, vamos usar a distribuição da média amostral. A média das amostras segue uma distribuição normal com média igual à média da população (μ) e desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra (σ/√n).
Passo 4
Aqui, temos σ = 91 horas e n = 60. Então, o erro padrão (EP) é:
Passo 5
Agora, queremos que o erro não ultrapasse 20 horas. Vamos calcular quantos desvios padrões isso representa:
Passo 6
Esse z-score nos mostra quantos desvios padrões a faixa de 20 horas cobre. Para encontrar a probabilidade correspondente a |Z| ≤ 1,70, consultamos uma tabela de distribuição normal ou usamos uma calculadora.
Passo 7
Consultando a tabela, a probabilidade de Z estar entre -1,70 e 1,70 é aproximadamente 0,91. Isso significa que há 91% de chance de o erro na média não ultrapassar 20 horas.
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b): precisamos encontrar o tamanho da amostra necessário para que o erro não ultrapasse 20 horas com pelo menos 95% de probabilidade.
Passo 9
Para isso, usamos a fórmula do erro de estimativa:
Queremos E ≤ 20 e a confiança de 95% corresponde a um z de aproximadamente 1,96.
Passo 10
Rearranjando a fórmula para encontrar n:
Passo 11
Elevando ao quadrado para achar n:
Passo 12
Como não podemos ter uma fração de amostra, arredondamos para cima. Portanto, precisamos de 80 circuitos na amostra.
Resposta
(a) A probabilidade de que o erro de estimativa da vida média não ultrapasse 20 horas é aproximadamente 91%.
(b) Para garantir que o erro não ultrapasse 20 horas com pelo menos 95% de confiança, o tamanho da amostra deve ser de 80 circuitos.