Considere dois vetores, que possuem módulos unitários, dados por
\begin{aligned} & \hat{r}=\cos \theta \hat{i}+\operatorname{sen} \theta \hat{j} \\\ & \hat{s}=\cos \delta \hat{i}+\operatorname{sen} \delta \hat{j} \end{aligned}
utilize o produto escalar para mostrar que \cos (\theta-\delta)=\cos \theta \cos \delta+\operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \delta.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores unitários no plano
\hat{r} = \cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j},\quad \hat{s} = \cos\delta\,\hat{i} + \sin\delta\,\hat{j}
e pede para usar o produto escalar para chegar à identidade trigonométrica
\cos(\theta-\delta)=\cos\theta\cos\delta+\sin\theta\sin\delta. Vamos precisar da definição de produto escalar em componentes e da definição geométrica de ângulo entre vetores.

Passo 2

Aplicando diretamente a definição de produto escalar em componentes, temos
\hat{r}\cdot\hat{s} =(\cos\theta)(\cos\delta)+(\sin\theta)(\sin\delta).

Passo 3

Por outro lado, a definição geométrica do produto escalar diz que, se \alpha é o ângulo entre \hat{r} e \hat{s}, então
\hat{r}\cdot\hat{s} = \|\hat{r}\|\;\|\hat{s}\|\;\cos\alpha.
Como ambos são unitários, \|\hat{r}\|=\|\hat{s}\|=1, logo
\hat{r}\cdot\hat{s} = \cos\alpha.
Como \hat{r} faz ângulo \theta com o eixo x e \hat{s} faz ângulo \delta, o ângulo entre eles é \alpha = \theta - \delta. Assim
\hat{r}\cdot\hat{s} = \cos(\theta-\delta).

Passo 4

Igualando as duas expressões para \hat{r}\cdot\hat{s}, obtemos
\cos(\theta-\delta) = \cos\theta\cos\delta + \sin\theta\sin\delta,
que é justamente a identidade desejada.

Resposta

\displaystyle \cos(\theta-\delta)=\cos\theta\cos\delta+\sin\theta\sin\delta.

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