São dados os vetores \vec{A}=3 \hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k} e \vec{B}=2 \hat{i}-4 \hat{j}+6 \hat{k}.
a) Determine o módulo de \vec{A} e o versor \hat{A}. Prove que esse último tem módulo unitário.
b) Mostre que o módulo da soma dos vetores é diferente da soma dos módulos dos vetores.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{A} = 3\,\hat{i} + 5\,\hat{j} - 2\,\hat{k}, \quad \vec{B} = 2\,\hat{i} - 4\,\hat{j} + 6\,\hat{k}.
Pede em (a) o módulo de \vec{A} e o versor \hat{A}, e em (b) mostrar que
\bigl|\vec{A} + \vec{B}\bigr| \;\neq\; \bigl|\vec{A}\bigr| + \bigl|\vec{B}\bigr|.
O conteúdo principal é: cálculo de norma de vetor, definição de versor e comparação de módulos.

Passo 2

Calculamos o módulo de \vec{A} pela fórmula
\bigl|\vec{A}\bigr| = \sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}.
Logo o versor \hat{A} é
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{\bigl|\vec{A}\bigr|} = \frac{1}{\sqrt{38}}\bigl(3\,\hat{i} + 5\,\hat{j} - 2\,\hat{k}\bigr).
Para provar que \hat{A} tem módulo unitário, basta verificar
\bigl|\hat{A}\bigr| = \sqrt{\Bigl(\frac{3}{\sqrt{38}}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{5}{\sqrt{38}}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{-2}{\sqrt{38}}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{9+25+4}{38}} = \sqrt{\frac{38}{38}} =1.

Passo 3

Agora calculamos \vec{A} + \vec{B}:
\vec{A} + \vec{B} = (3+2)\,\hat{i} + (5-4)\,\hat{j} + (-2+6)\,\hat{k} = 5\,\hat{i} + 1\,\hat{j} + 4\,\hat{k}.
Seu módulo é
\bigl|\vec{A} + \vec{B}\bigr| = \sqrt{5^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}.
Por outro lado,
\bigl|\vec{A}\bigr| + \bigl|\vec{B}\bigr| = \sqrt{38} + \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{38} + \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{38} + \sqrt{56}.
Como
\sqrt{42}\;\approx6{,}48 \quad\text{e}\quad \sqrt{38} + \sqrt{56}\;\approx6{,}16 + 7{,}48 =13{,}64,
fica claro que
\bigl|\vec{A} + \vec{B}\bigr| \;\neq\; \bigl|\vec{A}\bigr| + \bigl|\vec{B}\bigr|.

Resposta

(a) \bigl|\vec{A}\bigr| = \sqrt{38}.
\displaystyle \hat{A} = \frac{1}{\sqrt{38}}\,(3\,\hat{i} + 5\,\hat{j} - 2\,\hat{k}), e de fato \bigl|\hat{A}\bigr|=1.
(b)
\bigl|\vec{A} + \vec{B}\bigr| = \sqrt{42},
enquanto
\bigl|\vec{A}\bigr| + \bigl|\vec{B}\bigr| = \sqrt{38} + \sqrt{56},
logo são diferentes.

Exercícios relacionados