(2,5) Um pêndulo físico consiste em um anel fino e uniforme, de raio R=24 \mathrm{~cm}, suportado por um pivô localizado na borda do disco. Qual é o período do movimento harmônico simples executado pelo pêndulo?

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo físico formado por um anel fino e uniforme de raio R = 24\,\text{cm} = 0,24\,\text{m}, pendurado por um pivô na sua borda. Queremos calcular o período T das pequenas oscilações, usando o momento de inércia do anel em relação ao pivô e a fórmula de período para pêndulo físico.

Passo 2

Para um anel fino de massa M, o momento de inércia em relação ao centro é
I_{\text{cm}} = M R^2.
Como o pivô fica a distância d=R do centro, aplicamos o teorema dos eixos paralelos:
I = I_{\text{cm}} + M d^2 = M R^2 + M R^2 = 2\,M\,R^2.

Passo 3

Para pequenas oscilações de um pêndulo físico, o período é dado por
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M\,g\,d}},
onde I é o momento de inércia em relação ao pivô, g é a aceleração da gravidade e d é a distância do pivô ao centro de massa.

Passo 4

Substituindo I = 2M R^2 e d = R na fórmula:
T = 2\pi \sqrt{\frac{2\,M\,R^2}{M\,g\,R}} = 2\pi \sqrt{\frac{2\,R}{g}}.

Passo 5

Agora fazemos a avaliação numérica com R = 0,24\,\text{m} e g = 9,8\,\text{m/s}^2:
T = 2\pi \sqrt{\frac{2 \times 0,24}{9,8}} = 2\pi \sqrt{0,04898\ldots} \approx 2\pi \times 0,2214 \approx 1,39\,\text{s}.

Resposta

O período das pequenas oscilações é
T = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}} \approx 1,39\,\text{s}.

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