Considere as duas bases seguintes de R^2 :
S=u1=(1,2), u2=(3,5) E=e1=(1,0), e2=(0,1)
Determine a matriz de mudança de transição P da base S para a base usual E, e a matriz Q de mudança de base da E de volta à base S e prove que P cdot Q=I.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de R^2: a base S=u1=(1,2),u2=(3,5) e a base usual E=e1=(1,0),e2=(0,1). Precisamos encontrar
  1. a matriz de transição P que leva coordenadas em S para coordenadas em E,
  2. a matriz de mudança Q que leva coordenadas em E de volta para S,
    e então mostrar que
Pcdot Q = I

Passo 2

Para passar de coordenadas em S para coordenadas em E, basta colocar como colunas de P as coordenadas de u1 e u2 na base usual. Logo,
P = 1 & 3 2 & 5

Passo 3

A matriz é a inversa de , pois inverte a mudança de base. Para uma matriz
,
temos
Aqui , , , , então o determinante é
Portanto

Passo 4

Agora calculamos o produto Pcdot Q. Usando multiplicação de matrizes:
Pcdot Q = 1 & 3 2 & 5 -5 & 3 2 & -1 = 1cdot(-5) + 3cdot2 & 1cdot3 + 3cdot(-1) 2cdot(-5) + 5cdot2 & 2cdot3 + 5cdot(-1) = -5 + 6 & 3 - 3 -10 + 10 & 6 - 5 = 1 & 0 0 & 1

Resposta

A matriz de transição de S para E é
P = 1 & 3 2 & 5 ,
a matriz de mudança de E de volta a S é
Q = -5 & 3 2 & -1 ,
e de fato
Pcdot Q = I2

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