Seja W um subespaço de R^4 gerado pelos vetores u1=(1,1,2,2), u2=(1,2,5,6), u3=(1,3,6,8), u4=(1,2,4,5), seja A a matriz em forma escalonada na canônica.
A=(cccc 1 & 0 & 0 & 1 / 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 / 2 0 & 0 & 0 & 0 )
Determine a dimensão do espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado diz que WsubsetR^4 é gerado pelos vetores
u1=(1,1,2,2), u2=(1,2,5,6), u3=(1,3,6,8), u4=(1,2,4,5)
Para encontrar dim(W), basta calcular o posto da matriz cujas colunas são esses vetores e contar quantos pivôs ela possui.

Passo 2

Montamos a matriz
M = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 2 2 & 5 & 6 & 4 2 & 6 & 8 & 5 ,
cuja coluna j é o vetor uj. A forma escalonada reduzida de M na base canônica foi dada por
A = 1 & 0 & 0 & tfrac12 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac12 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

O posto de M é o número de pivôs em A. Observamos que há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, totalizando 3 pivôs. Logo,
dim(W) = rank(M) = 3

Resposta

dim(W)=3.

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