Seja W=(x, x^2) ; x in R um subespaço de V. Se escolhermos u=(1,1) e v=(2,4), prove que W não é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,x^2)mid xinR
como candidato a subespaço de V=R^2. Para mostrar que W não é subespaço, basta verificar que alguma das propriedades exigidas (fechamento sob adição ou sob multiplicação por escalar, presença do vetor zero, etc.) falha.

Passo 2

Uma condição simples de testar é a fechadura sob soma: se W fosse subespaço, então para quaisquer u,vin W deveríamos ter u+vin W.

Passo 3

Tomemos
u = (1,1)in W(pois 1^2=1),
v = (2,4)in W(pois 2^2=4)
Então
u+v = (1+2,,1+4) = (3,5)

Passo 4

Se (3,5) estivesse em W, existiria algum xinR tal que
(x,x^2) = (3,5)
Isso exige x=3 e x^2=5, mas 3^2=9neq5. Logo (3,5)notin W, ou seja, W não é fechado sob adição.

Resposta

W não é subespaço de V porque falha a propriedade de fechadura sob soma.

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