Seja
um subespaço de
. Se escolhermos
e
, prove que
não é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado define
como candidato a subespaço de
. Para mostrar que
não é subespaço, basta verificar que alguma das propriedades exigidas (fechamento sob adição ou sob multiplicação por escalar, presença do vetor zero, etc.) falha.
Passo 2
Uma condição simples de testar é a fechadura sob soma: se
fosse subespaço, então para quaisquer
deveríamos ter
.
Passo 3
Tomemos
Então
Passo 4
Se
estivesse em
, existiria algum
tal que
Isso exige
e
, mas
. Logo
, ou seja,
não é fechado sob adição.