Considere um espaço real R^3.
Determine se os vetores u1=(1,-1,0), u2=(1,1,0), u3=(0,1,1) formam uma base do espaço real R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
;u1=(1,-1,0), ;u2=(1,1,0) e ;u3=(0,1,1)
formam uma base de R^3. Isso significa checar se eles são linearmente independentes (LI) e, sendo três vetores em R^3, isso já garante também que geram todo o espaço.

Passo 2

Em R^3, uma forma prática de testar independência linear de três vetores é calcular o determinante da matriz que os tem como colunas. Se
A = u1 & u2 & u3
tem det(A)neq 0, então os vetores são LI e, por serem três em R^3, formam uma base.

Passo 3

Montamos a matriz
A = 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 0 & 0 & 1
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdot det1 & 1 0 & 1 - 1cdot det-1 & 1 0 & 1 + 0cdot(dots)
Agora,
det1 & 1 0 & 1 = 1, det-1 & 1 0 & 1 = -1,
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det(A) = 1 - 1cdot(-1) = 2

Passo 4

Como det(A)=2neq 0, concluímos que u1,u2,u3 são linearmente independentes. Três vetores LI em R^3 formam uma base de R^3.

Resposta

Os vetores u1, u2 e u3 formam uma base de R^3, pois o determinante da matriz que os tem como colunas é 2neq 0.

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