Considere duas esferas concêntricas distintas. A esfera menor tem \sqrt{ } 19 \mathrm{~cm} de raio. A área S da secção feita na esfera maior por um plano tangente à esfera menor é 81 \pi \mathrm{~cm}^{2}. Calcule:
(a) o raio da esfera maior;
(b) a razão entre o volume da esfera menor e o volume da esfera maior.

Passo 1

Temos duas esferas concêntricas: a de raio menor r_1=\sqrt{19} cm e a de raio maior R. Um plano é tangente à esfera menor e, ao cortar a esfera maior, produz uma seção circular de área S=81\pi c m^{2}. Para resolver, usaremos a relação da seção de uma esfera por um plano a uma distância d do centro e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

A distância do centro comum ao plano é igual ao raio da esfera menor, ou seja
d = r_1 = \sqrt{19}\,.

Passo 3

Se a seção é um círculo de área S=81\pi, seu raio r satisfaz
\pi\,r^2 = 81\pi
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r^2 = 81 \qquad\Longrightarrow\qquad r = 9\text{ cm}.

Passo 4

Na seção mediana que contém o centro, o raio maior R, a distância d e o raio da seção r formam um triângulo retângulo. Assim, pelo Teorema de Pitágoras,
R^2 = d^2 + r^2 = (\sqrt{19})^2 + 9^2 = 19 + 81 = 100,
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R = 10\text{ cm}.

Passo 5

O volume de uma esfera de raio r é \tfrac{4}{3}\pi r^3. A razão pedida é
\frac{V_{\text{menor}}}{V_{\text{maior}}} = \left(\frac{r_1}{R}\right)^{3} = \Bigl(\frac{\sqrt{19}}{10}\Bigr)^{3} = \frac{19\sqrt{19}}{1000}\,.

Resposta

(a) 10 cm
(b) \displaystyle \frac{19\sqrt{19}}{1000}

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