Considere duas esferas concêntricas distintas. A esfera menor tem
de raio. A área
da secção feita na esfera maior por um plano tangente à esfera menor é
. Calcule:
(a) o raio da esfera maior;
(b) a razão entre o volume da esfera menor e o volume da esfera maior.
(a) o raio da esfera maior;
(b) a razão entre o volume da esfera menor e o volume da esfera maior.
Passo 1
Temos duas esferas concêntricas: a de raio menor
cm e a de raio maior
. Um plano é tangente à esfera menor e, ao cortar a esfera maior, produz uma seção circular de área
c
. Para resolver, usaremos a relação da seção de uma esfera por um plano a uma distância
do centro e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
A distância do centro comum ao plano é igual ao raio da esfera menor, ou seja
Passo 3
Se a seção é um círculo de área
, seu raio
satisfaz
logo
Passo 4
Na seção mediana que contém o centro, o raio maior
, a distância
e o raio da seção
formam um triângulo retângulo. Assim, pelo Teorema de Pitágoras,
logo
Passo 5
O volume de uma esfera de raio
é
. A razão pedida é
Resposta
(a)
cm
(b)
(b)