Problema 1 Considerando os parâmetros dados como números reais, encontre os pontos fixos dos seguintes sistemas dinâmicos:
, com
e
;
Passo 1
Estamos lidando com o sistema de Lorenz dado por
e queremos encontrar os pontos fixos (onde todas as derivadas são zero). Vamos precisar usar a definição de ponto fixo e resolver o sistema algébrico resultante.
Passo 2
Um ponto fixo satisfaz
pois basta fazer
.
Passo 3
Da primeira equação temos
e, como
, conclui-se que
Substituindo
nas duas equações restantes obtemos
Passo 4
Agora analisamos dois casos completos:
• Caso 1: . Então
e da segunda equação
vem
. Isso dá o ponto trivial ((0,0,0)).
• Caso 2: . Da primeira equação do caso temos
. Substituindo em
dá
• Caso 1:
• Caso 2:
Passo 5
Como
, temos duas soluções para
:
Portanto surgem dois pontos fixos não triviais.
Passo 6
Reunindo tudo, os pontos fixos do sistema são: o trivial e os dois não triviais obtidos no caso
.
Resposta
Os pontos fixos são