Problema 1 Considerando os parâmetros dados como números reais, encontre os pontos fixos dos seguintes sistemas dinâmicos:
dotx=sigma(y-x), doty=r x-y-x z, dotz=x y-b z, com sigma neq 0, r neq 1 e b neq 0;

Passo 1

Estamos lidando com o sistema de Lorenz dado por
dot x=sigma(y-x), dot y=rx-y-xz, dot z=xy-bz
e queremos encontrar os pontos fixos (onde todas as derivadas são zero). Vamos precisar usar a definição de ponto fixo e resolver o sistema algébrico resultante.

Passo 2

Um ponto fixo satisfaz
sigma(y - x) = 0, r x - y - x z = 0, x y - b z = 0
pois basta fazer dot x=dot y=dot z=0.

Passo 3

Da primeira equação temos sigma(y-x)=0 e, como sigmaneq0, conclui-se que
y = x
Substituindo y=x nas duas equações restantes obtemos
x(r-1 - z) = 0,
x^2 - b z = 0

Passo 4

Agora analisamos dois casos completos:
• Caso 1: x=0. Então y=0 e da segunda equação 0^2 - b z=0 vem z=0. Isso dá o ponto trivial ((0,0,0)).
• Caso 2: xneq0. Da primeira equação do caso temos z=r-1. Substituindo em x^2 - b z=0
x^2 = b(r-1)

Passo 5

Como x^2=b(r-1), temos duas soluções para x:
x = pmraizb(r-1), y = x, z = r-1
Portanto surgem dois pontos fixos não triviais.

Passo 6

Reunindo tudo, os pontos fixos do sistema são: o trivial e os dois não triviais obtidos no caso xneq0.

Resposta

Os pontos fixos são
(0,0,0), (,raizb(r-1),,raizb(r-1),,r-1), (-raizb(r-1),-raizb(r-1),r-1)

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