Considere duas esferas de raios R1=8 cm e R2=5 R1 afastadas o suficiente para desprezar o efeito de uma sobre a distribuição de cargas da outra. (a) Encontre a capacitância desse sistema (neste caso, se considera que uma das esferas é carregada com +q e a outra com -q ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas esferas com raios e . Essas esferas estão afastadas o suficiente para que uma não influencie a carga da outra. A gente precisa encontrar a capacitância desse sistema, considerando que uma esfera está com carga e a outra com . Para resolver isso, vamos usar conceitos de capacitância entre condutores esféricos e a relação entre carga, potencial e capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância C = qV é definida pela fórmula:
onde é a carga e é a diferença de potencial entre as duas esferas.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a diferença de potencial V = q4pi varepsilon0 R entre as duas esferas. O potencial de uma esfera carregada é dado por:
onde é o raio da esfera e é a permissividade do vácuo ( ).

Passo 4

Como uma esfera tem carga V = q4pi varepsilon0 R1 - (-q4pi varepsilon0 R2) = q4pi varepsilon0 ( 1R1 + 1R2 ) e a outra , a diferença de potencial entre elas será:

Passo 5

Substituindo a definição de capacitância na fórmula da diferença de potencial:
C = qV = qq4pi varepsilon0 ( 1R1 + 1R2 ) = 4pi varepsilon01R1 + 1R2 = 4pi varepsilon0 cdot R1 R2R1 + R2

Passo 6

Agora, vamos inserir os valores dados:
R1 = 8 , cm = 0,08 , m e R2 = 40 , cm = 0,40 , m
Substituindo na fórmula:
C = 4pi times 8,854 times 10^-12 , F/m times 0,08 times 0,400,08 + 0,40
Calculando os valores:
C = 4pi times 8,854 times 10^-12 times 0,0320,48 approx 7,42 times 10^-12 , F
Convertendo para picofarad (pF):
7,42 times 10^-12 , F = 7,42 , pF

Resposta

A capacitância do sistema é aproximadamente .

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