Para o íon Li+1(Li^+), faça o que se pede:
Considere como função de onda tentativa o produto das funções de onda espaciais e de spin para o átomo de hidrogênio (1 s1(r1) alpha, 1 s2(r2) beta).
Escreva o hamiltoniano, sem considerar a aproximação de Born-Oppenheimer. Fale brevemente de cada termo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o íon de lítio Li^+, que basicamente é um átomo de lítio com uma carga positiva. O objetivo aqui é escrever o Hamiltoniano desse sistema sem usar a aproximação de Born-Oppenheimer. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um Hamiltoniano na mecânica quântica e quais são os termos que compõem ele quando consideramos tanto os elétrons quanto o núcleo do átomo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Hamiltoniano. Na mecânica quântica, o Hamiltoniano é como o “cérebro” do sistema; ele descreve toda a energia do sistema, incluindo a energia cinética e a energia potencial das partículas envolvidas. No caso do íon Li^+, temos um núcleo e dois elétrons, então precisamos considerar a interação entre todas essas partículas.

Passo 3

Vamos começar escrevendo o Hamiltoniano geral para o íon Li^+ sem a aproximação de Born-Oppenheimer. Isso significa que não vamos assumir que o núcleo está fixo; tanto o núcleo quanto os elétrons vão ter suas próprias energias cinéticas. A expressão geral fica assim:
H = -hbar^22M nablaR^2 - hbar^22m ( nablar1^2 + nablar2^2 ) - Z e^24 pi epsilon0 R + e^24 pi epsilon0 r12 - Z e^24 pi epsilon0 r1 - Z e^24 pi epsilon0 r2

Passo 4

Agora, vamos explicar cada termo dessa expressão:
  1. Energia cinética do núcleo:
    -hbar^22M nablaR^2
    Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, M é a massa do núcleo, e nablaR^2 é o operador laplaciano em relação à posição do núcleo. Esse termo representa a energia associada ao movimento do núcleo.
  2. Energia cinética dos elétrons:
    -hbar^22m ( nablar1^2 + nablar2^2 )
    Com m sendo a massa do elétron e nablar1^2, nablar2^2 os operadores laplacianos para cada elétron. Esses termos representam a energia de movimento dos dois elétrons.
  3. Energia potencial núcleo-núcleo:
    - Z e^24 pi epsilon0 R
    Z é o número atômico (número de prótons no núcleo), e é a carga elementar, epsilon0 é a permissividade do vácuo, e R é a distância entre os núcleos. Esse termo representa a atração entre o núcleo e os elétrons.
  4. Energia potencial elétron-elétron:
    e^24 pi epsilon0 r12
    r12 é a distância entre os dois elétrons. Esse termo representa a repulsão entre os dois elétrons devido às suas cargas negativas.
  5. Energia potencial núcleo-elétron:
    - Z e^24 pi epsilon0 r1 - Z e^24 pi epsilon0 r2
    r1 e r2 são as distâncias de cada elétron ao núcleo. Esses termos representam a atração entre cada elétron e o núcleo positivo.

Resposta

Então, juntando tudo, o Hamiltoniano para o íon Li^+ sem a aproximação de Born-Oppenheimer é:
H = -hbar^22M nablaR^2 - hbar^22m ( nablar1^2 + nablar2^2 ) - Z e^24 pi epsilon0 R + e^24 pi epsilon0 r12 - Z e^24 pi epsilon0 r1 - Z e^24 pi epsilon0 r2
Cada termo representa as diferentes energias cinéticas e potenciais das partículas no sistema, considerando tanto o núcleo quanto os elétrons.

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