Para o íon
, faça o que se pede:
Considere como função de onda tentativa o produto das funções de onda espaciais e de spin para o átomo de hidrogênio
.
Escreva o hamiltoniano, sem considerar a aproximação de Born-Oppenheimer. Fale brevemente de cada termo.
Considere como função de onda tentativa o produto das funções de onda espaciais e de spin para o átomo de hidrogênio
Escreva o hamiltoniano, sem considerar a aproximação de Born-Oppenheimer. Fale brevemente de cada termo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre o íon de lítio
, que basicamente é um átomo de lítio com uma carga positiva. O objetivo aqui é escrever o Hamiltoniano desse sistema sem usar a aproximação de Born-Oppenheimer. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um Hamiltoniano na mecânica quântica e quais são os termos que compõem ele quando consideramos tanto os elétrons quanto o núcleo do átomo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Hamiltoniano. Na mecânica quântica, o Hamiltoniano é como o “cérebro” do sistema; ele descreve toda a energia do sistema, incluindo a energia cinética e a energia potencial das partículas envolvidas. No caso do íon
, temos um núcleo e dois elétrons, então precisamos considerar a interação entre todas essas partículas.
Passo 3
Vamos começar escrevendo o Hamiltoniano geral para o íon
sem a aproximação de Born-Oppenheimer. Isso significa que não vamos assumir que o núcleo está fixo; tanto o núcleo quanto os elétrons vão ter suas próprias energias cinéticas. A expressão geral fica assim:
Passo 4
Agora, vamos explicar cada termo dessa expressão:
-
Energia cinética do núcleo:Aqui,
é a constante de Planck reduzida, é a massa do núcleo, e é o operador laplaciano em relação à posição do núcleo. Esse termo representa a energia associada ao movimento do núcleo. -
Energia cinética dos elétrons:Com
sendo a massa do elétron e , os operadores laplacianos para cada elétron. Esses termos representam a energia de movimento dos dois elétrons. -
Energia potencial núcleo-núcleo:
é o número atômico (número de prótons no núcleo), é a carga elementar, é a permissividade do vácuo, e é a distância entre os núcleos. Esse termo representa a atração entre o núcleo e os elétrons. -
Energia potencial elétron-elétron:
é a distância entre os dois elétrons. Esse termo representa a repulsão entre os dois elétrons devido às suas cargas negativas. -
Energia potencial núcleo-elétron:
e são as distâncias de cada elétron ao núcleo. Esses termos representam a atração entre cada elétron e o núcleo positivo.
Resposta
Então, juntando tudo, o Hamiltoniano para o íon
sem a aproximação de Born-Oppenheimer é:
Cada termo representa as diferentes energias cinéticas e potenciais das partículas no sistema, considerando tanto o núcleo quanto os elétrons.