Considere duas funções f(x) e g(x). Para cada item, determine as composições:
(f circ g)(x)=f(g(x)) e(g circ f)(x)=g(f(x))
Em seguida, calcule também o domínios dessas funções;
f(x)=raizx e g(x)=x-1

Passo 1

Temos as funções
f(x)=raizx, com domínio Df=[0,infty), í
g(x)=x-1, com domínio Dg=R í
O que o enunciado pede é calcular as funções compostas
(fcirc g)(x)=f(g(x)) e (gcirc f)(x)=g(f(x))
e, em seguida, determinar o domínio de cada uma delas. Para isso usamos a definição de composição e as restrições de domínio (por exemplo, sob uma raiz só entram argumentos não-negativos).

Passo 2

Para obter (fcirc g)(x) substituímos g(x)=x-1 em f(u)=raizu. Logo,
(fcirc g)(x)=raizx-1

Passo 3

O domínio de (fcirc g) é o conjunto de x tais que o argumento da raiz seja não-negativo:
x-1>=0Longrightarrow x>=1
Portanto
Dfcirc g=[1,infty)

Passo 4

Para (gcirc f)(x) substituímos f(x)=raizx em g(u)=u-1. Assim,
(gcirc f)(x)=raizx-1

Passo 5

O domínio de (gcirc f) é determinado pela necessidade de raizx estar definido, já que subtrair 1 não impõe restrição extra. Como raizx exige x>=0, temos
Dgcirc f=[0,infty)

Resposta

(fcirc g)(x)=raizx-1, Dfcirc g=[1,infty)
(gcirc f)(x)=raizx-1, Dgcirc f=[0,infty)

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