Esboce o gráfico da função e determine o conjunto Im(f)
7. Dadas f(x)=1x-1 e g(x)=log (x).
(a) Efetue as operações f+g, f-g, f cdot g, f / g, g / f
(b) Calcule o domínio das funções calculadas no item (a)

Passo 1

Resumindo o que o exercício pede: temos
f(x)=1x-1 e g(x)=log(x).
Precisamos de dois itens:
1. Esboçar o gráfico de f e determinar Im(f).
2. Efetuar as operações
f+g, f-g, fcdot g, fg, gf
e, em seguida, calcular o domínio de cada função resultante.

Passo 2

Analisando f(x)=1x-1:
  • É a hipérbole padrão y=tfrac1x transladada uma unidade à direita.
  • Assíntotas: x=1(vertical), y=0(horizontal)
  • Para x>1, f(x)>0 e decresce de +infty a 0^+.
  • Para x<1, f(x)<0 e cresce de -infty a 0^-.
    O esboço tem dois ramos, um acima de y=0 para x>1 e outro abaixo para x<1, aproximando-se das assíntotas.
    Como f(x) nunca vale 0 mas atinge todo outro real,
Im(f)=Rsetminus0

Passo 3

Calculando as operações entre f e g:
f+g = 1x-1 + log(x),
f-g = 1x-1 - log(x),
fcdot g = log(x)x-1,
fg = 1x-1log(x) = 1(x-1),log(x),
gf = log(x)1x-1 = (x-1),log(x)

Passo 4

Agora o domínio de cada uma.
  • .
  • .
    Para combinar, tomamos a interseção e ainda evitamos divisão por zero nos resultados:
    . , e : exigem e .
    . : além de e , precisa , ou seja (já contemplado).
    . : além de e , precisa , mas para todo .
    Em todos os casos o domínio é

Resposta

Esboço do gráfico de f(x)=tfrac1x-1: hiperbole com assíntotas em x=1 (vertical) e y=0 (horizontal), ramos em x<1,,y<0 e x>1,,y>0.
Im(f)=Rsetminus0
Operações:
f+g = 1x-1 + log(x), f-g = 1x-1 - log(x),
fcdot g = log(x)x-1, fg = 1(x-1),log(x), gf = (x-1),log(x)
Domínio de todas as funções acima:
(0,1)cup(1,infty)

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