Verifiquem a existência ou não existência dos limites a seguir:
lim (x, y) (1,2) 4-x yx^2+3 y^2

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa verificar se existe
lim(x,y)to(1,2) 4 - x,yx^2 + 3y^2
Conteúdo da matéria: limites de funções de duas variáveis e o conceito de continuidade.
O que vamos precisar: saber que, se uma função é contínua num ponto e o denominador ali não zera, basta substituir para achar o limite.

Passo 2

Teoria do limite em R²: dizemos que
lim(x,y)to(a,b) f(x,y) = L
se, independente da forma como (x,y) se aproximam de (a,b), f(x,y) chega em L.
Se f for composta por somas, produtos e quocientes de funções contínuas (e o divisor não for zero), então f é contínua e vale
lim(x,y)to(a,b) f(x,y)=f(a,b)

Passo 3

No nosso caso
f(x,y)=4-xyx^2+3y^2
– Numerador 4-xy e denominador x^2+3y^2 são polinômios (sempre contínuos).
– Só precisamos checar se o denominador é zero em (1,2):
1^2 + 3cdot2^2 = 1 + 12 = 13 neq 0
Logo f é contínua em (1,2).

Passo 4

Como f é contínua, usamos substituição direta:
lim(x,y)to(1,2) 4-xyx^2+3y^2 = 4 - (1)(2)1^2 + 3cdot2^2 = 4-21+12 = 213

Resposta

O limite existe e vale 213

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