Considere duas funções f(x) e g(x). Para cada item, determine as composições:
(f circ g)(x)=f(g(x)) e(g circ f)(x)=g(f(x))
Em seguida, calcule também o domínios dessas funções;
f(x)=x-1x-9 e g(x)=raizx

Passo 1

O enunciado pede para formarmos as composições
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r) e (gcirc f)(x)=gl(f(x)r),
usando
f(x)=x-1x-9, Dom(f)=Rsetminus9,
g(x)=raizx, Dom(g)=[0,infty)
Além disso, precisamos determinar os domínios de cada composição, ou seja, impor que o valor interno esteja em domínio do interior e que o resultado respeite o domínio da função exterior.

Passo 2

Cálculo de (fcirc g)(x):
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r) =g(x)-1g(x)-9 =raizx-1raizx-9
Domínio: primeiro g(x) exige x>=0. Depois, para não anular o denominador de f, requeremos raizx-9neq0, isto é, xneq81.
Dom(fcirc g)=[0,infty)setminus81

Passo 3

Cálculo de (gcirc f)(x):
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =raiz,f(x), =raizx-1x-9
Domínio: primeiro f(x) exige xneq9. Em seguida, a raiz quadrada exige
x-1x-9>=0
Fazendo a discussão de sinais com pontos críticos x=1 (zero do numerador) e x=9 (zero do denominador), obtemos que a fração é não-negativa em
(-infty,1]e(9,infty)
Como x=9 já está excluído, concluímos
Dom(gcirc f)=(-infty,1]cup(9,infty)

Resposta

(fcirc g)(x)=raizx-1raizx-9, Dom(fcirc g)=[0,infty)setminus81
(gcirc f)(x)=raizx-1x-9, Dom(gcirc f)=(-infty,1]cup(9,infty)

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