Considere duas funções f(x) e g(x). Para cada item, determine as composições:
(f circ g)(x)=f(g(x)) e(g circ f)(x)=g(f(x))
Em seguida, calcule também o domínios dessas funções;
f(x)=log (x) e g(x)=x-2x+4

Passo 1

O enunciado pede para calcular as funções compostas
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r) e (gcirc f)(x)=gl(f(x)r),
onde
f(x)=log(x), g(x)=x-2x+4,
e em seguida determinar o domínio de cada composição.
Para isso vamos usar que o domínio de fcirc g é o conjunto de todos os x tais que g(x) está no domínio de f, e o domínio de gcirc f é o conjunto de todos os x tais que f(x) está no domínio de g.

Passo 2

Calculando
(fcirc g)(x) =log!l(g(x)r) =log!l(x-2x+4r)

Passo 3

Para achar o domínio de (fcirc g)(x) precisamos de duas condições:
  1. g(x) deve estar definido, ou seja x+4neq0.
  2. O argumento do log deve ser positivo:
x-2x+4>0
Resolvendo a inequação, notamos que o quociente é positivo quando numerador e denominador têm o mesmo sinal:
  • Numerador x-2>0 e denominador x+4>0 implies x>2.
  • Numerador x-2<0 e denominador x+4<0 implies x< -4.
    Além disso excluímos x=-4.
    Logo o domínio de fcirc g é
(-infty,-4),cup,(2,infty)

Passo 4

Calculando
(gcirc f)(x) =f(x)-2f(x)+4 =log(x)-2log(x)+4

Passo 5

Para achar o domínio de (gcirc f)(x) precisamos de:
  1. f(x)=log(x) definido implies x>0.
  2. Denominador diferente de zero:
log(x)+4neq0 Longrightarrow log(x)neq -4 Longrightarrow xneq e^-4
Portanto o domínio de gcirc f é
(0,infty)setminuse^-4

Resposta

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