Considere duas funções f(x) e g(x). Para cada item, determine as composições:
(f circ g)(x)=f(g(x)) e(g circ f)(x)=g(f(x))
Em seguida, calcule também o domínios dessas funções;
f(x)=log (x-1) e g(x)=1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as composições
(fcirc g)(x)=f(g(x)) e (gcirc f)(x)=g(f(x))
e determinar os respectivos domínios, dadas
f(x)=log(x-1), g(x)=1x
Vamos usar a definição de composição de funções e as regras de existência de log e de divisão por zero.

Passo 2

Para (fcirc g)(x) substituímos g(x) em f:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r) =logl(g(x)-1r) =logl(1x-1r) =log!l(1-xxr)

Passo 3

Para que logl(tfrac1-xxr) esteja definido, é preciso:
  1. g(x)=1/x exista, ou seja xneq0.
  2. o argumento do log seja positivo:
1-xx>0 Longrightarrow x(1-x)>0 Longrightarrow 0<x<1
Logo o domínio de (fcirc g) é (0,1).

Passo 4

Para (gcirc f)(x) substituímos f(x) em g:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =1f(x) =1log(x-1)

Passo 5

Para que tfrac1log(x-1) exista, é preciso:
  1. f(x)=log(x-1) exista, ou seja x-1>0Longrightarrow x>1.
  2. o denominador seja não nulo:
log(x-1)neq0 Longrightarrow x-1neq1 Longrightarrow xneq2
Portanto o domínio de (gcirc f) é (1,2)cup(2,infty).

Resposta

(fcirc g)(x)=log!l(1-xxr), dom(fcirc g)=(0,1),
(gcirc f)(x)=1log(x-1), dom(gcirc f)=(1,2)cup(2,infty)

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