Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
Estamos tratando de limite de forma indeterminada
para funções elementares, então vamos usar equivalências de Taylor para
e
em torno de zero.
Passo 2
Verificamos a forma substituindo
:
logo o quociente é
, uma indeterminação.
Passo 3
Definimos a variável auxiliar
Quando
, temos
. Além disso
.
Passo 4
Usamos as expansões para
:
Passo 5
Substituindo na razão original obtemos
Como essa equivalência não depende de direção de aproximação, o limite existe e vale
.