Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (1,1) arcsen(x y-1)arctan (2 x y-2).

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
lim(x,y)to(1,1) arcsin(xy-1)arctan(2xy-2)
Estamos tratando de limite de forma indeterminada tfrac00 para funções elementares, então vamos usar equivalências de Taylor para arcsin e arctan em torno de zero.

Passo 2

Verificamos a forma substituindo (x,y)=(1,1):
xy-1 = 1cdot1 - 1 = 0, 2xy-2 = 2cdot1cdot1 - 2 = 0,
logo o quociente é tfrac00, uma indeterminação.

Passo 3

Definimos a variável auxiliar
u = xy - 1
Quando (x,y)to(1,1), temos uto0. Além disso 2xy-2 = 2u.

Passo 4

Usamos as expansões para uto0:
arcsin(u) sim u, arctan(2u) sim 2u

Passo 5

Substituindo na razão original obtemos
arcsin(xy-1)arctan(2xy-2) sim u2u = 12
Como essa equivalência não depende de direção de aproximação, o limite existe e vale tfrac12.

Resposta

12

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