Considere duas funções f(x) e g(x). Para cada item, determine as composições:
(f circ g)(x)=f(g(x)) e(g circ f)(x)=g(f(x))
Em seguida, calcule também o domínios dessas funções;
f(x)=e^x e g(x)=|x|

Passo 1

O enunciado pede para calcular as composições (fcirc g)(x)=f(g(x)) e (gcirc f)(x)=g(f(x)) das funções
f(x)=e^x,
g(x)=|x|
e, em seguida, determinar o domínio de cada uma dessas composições. Vamos usar a definição de composição de funções e as condições de existência de e^x (que está definida para todo xinR) e de |x| (também definida para todo xinR).

Passo 2

Para obter (fcirc g)(x), substituímos a saída de g como entrada de f. Logo,
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=fl(|x|r)=e^|x|

Passo 3

O domínio de (fcirc g) é o conjunto de x tais que g(x) está no domínio de f. Temos
dom(g)=R e dom(f)=R
Como |x| sempre fornece um número real e e^u está definido para todo uinR, segue que
dom(fcirc g)=R

Passo 4

Para obter (gcirc f)(x), substituímos a saída de f como entrada de g. Assim,
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=gl(e^xr)=l|e^xr|
Como e^x>0 para todo x, podemos simplificar
|e^x|=e^x

Passo 5

O domínio de (gcirc f) é o conjunto de x tais que f(x) está no domínio de g. Temos
dom(f)=R e dom(g)=R
Como e^xinR para todo x e |u| está definido para todo uinR, segue que
dom(gcirc f)=R

Resposta

(fcirc g)(x)=e^|x|, dom(fcirc g)=R;
(gcirc f)(x)=|e^x|=e^x, dom(gcirc f)=R

Exercícios relacionados