Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (4,3) y-3x^2+y^2-25.

Passo 1

O enunciado pede o limite em R^2
lim(x,y)to(4,3) y-3x^2+y^2-25
Este é um caso de forma tfrac00, pois em (4,3) o numerador e o denominador se anulam. Vamos investigar direções de aproximação para ver se o limite é único.

Passo 2

Reescrevemos o denominador em termos de x-4 e y-3:
x^2+y^2-25 = (x-4)(x+4) + (y-3)(y+3)

Passo 3

Parametrizamos uma reta que passa por (4,3) definindo
y-3 = k,(x-4), x-4 = t,
ou seja
y = 3 + k,t, x = 4 + t,
com tto0.

Passo 4

Substituímos na expressão:
numerador: y-3 = k,t.
Denominador:
(x-4)(x+4) + (y-3)(y+3) = tl((4+t)+4r) + k,tl((3+k,t)+3r) = t(8 + t) + k,t(6 + k,t)
Para tto0, o termo dominante é
t(8) + k,t(6) = t,(8+6k),
de modo que
y-3x^2+y^2-25 approx k,tt,(8+6k) = k8+6k,
desde que 8+6kneq0.

Passo 5

Vemos que esse valor depende de k. Por exemplo:
  • Para k=0 (aproximação horizontal y=3) obtemos
    08=0.
  • Para k=1 (reta y-3=x-4) obtemos
    18+6= 114.
Como o limite direcional muda com a escolha de k, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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