Mostrando os detalhes do que fizer, encontre a série de Fourier da f(x) dada, que se supõe ter o período 2 \pi. Esboce ou represente graficamente as somas parciais até a parte contendo \cos 5 x e sen 5 x.
f(x)=\left\{\begin{aligned}-4 x & \text { se }-\pi<x<0 \\\\ 4 x & \text { se } \quad 0<x<\pi\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função f(x)\) de período \(2\pi\) dada por \[f(x)= \begin{cases} -4x, & -\pi < x < 0,\\\\ 4x, & 0 < x < \pi, \end{cases}
e quer também as somas parciais até os termos em \cos5x\] e \(\sin5x. O conteúdo envolvido é expansão em série de Fourier para funções periódicas, usando as fórmulas
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Observamos que f é par, pois para x>0,
f(-x) = -4(-x)=4x = f(x).
Logo os coeficientes de seno são nulos:
b_n = 0\quad(\text{pois \(f\) é par e \(\sin(nx)\) é ímpar}).ééí

Passo 3

Calculamos o termo médio a_0:
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}4x\,dx = \frac{2}{\pi}\Bigl[2x^2\Bigr]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi}\cdot2\pi^2 =4\pi.
Na série aparece \tfrac{a_0}{2}=2\pi.

Passo 4

Para a_n, usando que f é par:
a_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}4x\cos(nx)\,dx = \frac{8}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes em \int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx:
\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx = \Bigl[\frac{x\sin(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\,dx = 0 - \frac{1}{n}\Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} = \frac{1}{n^2}\bigl((-1)^n - 1\bigr).
Assim
a_n = \frac{8}{\pi}\cdot\frac{1}{n^2}\bigl((-1)^n - 1\bigr).

Passo 5

Note que se n é par, (-1)^n=1 e a_n=0. Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e
a_n = \frac{8}{\pi n^2}(-1-1) = -\frac{16}{\pi n^2}.
Logo apenas aparecem termos em \cos(nx) com n ímpar.

Passo 6

A série de Fourier completa é
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx) = 2\pi \;-\;\frac{16}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k-1)x\bigr)}{(2k-1)^2}.

Passo 7

As somas parciais até o termo em \cos5x (note que os coeficientes de \sin(nx) são zero) são
S_1(x) = 2\pi \;-\;\frac{16}{\pi}\frac{\cos x}{1^2},
S_3(x) = 2\pi \;-\;\frac{16}{\pi}\Bigl(\frac{\cos x}{1^2}+\frac{\cos3x}{3^2}\Bigr),
S_5(x) = 2\pi \;-\;\frac{16}{\pi}\Bigl(\frac{\cos x}{1^2}+\frac{\cos3x}{3^2}+\frac{\cos5x}{5^2}\Bigr).
Graficamente, cada S_{2m-1}(x) aproxima a forma em “V” de f(x)=4|x| no intervalo [-\pi,\pi], apresentando pequenas oscilações de Gibbs perto de x=\pm\pi.

Resposta

\boxed{ f(x) = 2\pi \;-\;\frac{16}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k-1)x\bigr)}{(2k-1)^2}, \quad b_n=0. }
Somas parciais:
S_5(x) = 2\pi \;-\;\frac{16}{\pi}\Bigl(\cos x + \tfrac{1}{9}\cos3x + \tfrac{1}{25}\cos5x\Bigr).

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