Considere duas funções mensuráveis
:
. Prove que se
e
são independentes, então
e
também são independentes.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, dadas duas v.a. independentes X₁ e X₂ e duas funções mensuráveis f₁,f₂: ℝ→ℝ, as variáveis Y₁=f₁(X₁) e Y₂=f₂(X₂) também são independentes. Vamos usar a definição de independência em termos de eventos e a mensurabilidade das funções.
Passo 2
Duas variáveis aleatórias Y₁ e Y₂ são independentes se, para quaisquer conjuntos borelianos A,B⊆ℝ, vale
Passo 3
Pela mensurabilidade de f₁ e f₂, para qualquer boreliano A temos
e de modo análogo
$${Y₂\in B}={X₂\in f₂^{-1}(B)}.
$$
Passo 4
Então
$$P(Y₁\in A,;Y₂\in B)=P\bigl(X₁\in f₁^{-1}(A),;X₂\in f₂^{-1}(B)\bigr).
$$
Passo 5
Como X₁ e X₂ são independentes, eventos do tipo
e
são independentes, logo
Passo 6
Mas observamos que
$$P(X₁\in f₁^{-1}(A))=P(Y₁\in A),\quad P(X₂\in f₂^{-1}(B))=P(Y₂\in B).
$$
Passo 7
Substituindo, obtemos
o que mostra exatamente que Y₁ e Y₂ são independentes.
Resposta
Y₁=f₁(X₁) e Y₂=f₂(X₂) são independentes.