Considere duas funções mensuráveis f1, f2 : R R. Prove que se X1 e X2 são independentes, então e também são independentes.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, dadas duas v.a. independentes X₁ e X₂ e duas funções mensuráveis f₁,f₂: ℝ→ℝ, as variáveis Y₁=f₁(X₁) e Y₂=f₂(X₂) também são independentes. Vamos usar a definição de independência em termos de eventos e a mensurabilidade das funções.

Passo 2

Duas variáveis aleatórias Y₁ e Y₂ são independentes se, para quaisquer conjuntos borelianos A,B⊆ℝ, vale
P(Y₁in A,;Y₂in B)=P(Y₁in A);P(Y₂in B)

Passo 3

Pela mensurabilidade de f₁ e f₂, para qualquer boreliano A temos
Y₁in A=f₁(X₁)in A=X₁in f₁^-1(A),
e de modo análogo
$${Y₂\in B}={X₂\in f₂^{-1}(B)}.
$$

Passo 4

Então
$$P(Y₁\in A,;Y₂\in B)=P\bigl(X₁\in f₁^{-1}(A),;X₂\in f₂^{-1}(B)\bigr).
$$

Passo 5

Como X₁ e X₂ são independentes, eventos do tipo X₁in C e X₂in D são independentes, logo
Pl(X₁in f₁^-1(A),;X₂in f₂^-1(B)r)=P(X₁in f₁^-1(A));P(X₂in f₂^-1(B))

Passo 6

Mas observamos que
$$P(X₁\in f₁^{-1}(A))=P(Y₁\in A),\quad P(X₂\in f₂^{-1}(B))=P(Y₂\in B).
$$

Passo 7

Substituindo, obtemos
P(Y₁in A,;Y₂in B)=P(Y₁in A);P(Y₂in B),
o que mostra exatamente que Y₁ e Y₂ são independentes.

Resposta

Y₁=f₁(X₁) e Y₂=f₂(X₂) são independentes.

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