Dado uma variável aleatória
que é independente de si própria. Mostre que
é constante com probabilidade 1.
Passo 1
O enunciado diz que a v.a. X é independente de si própria. O conteúdo é independência de variáveis aleatórias e vamos precisar usar a definição de independência para v.a. idênticas.
Passo 2
Pela definição, X e X são independentes significa que, para quaisquer conjuntos mensuráveis A e B, vale
Em particular, tomando A=B, obtemos
Logo, para todo A, temos P(X\in A) é raiz de
, isto é,
.
Passo 3
Isso mostra que a medida de probabilidade induzida por X só assume valores 0 ou 1 em qualquer evento. Em outras palavras, a lei de X é um produto problema-determinístico, não podendo distribuir massa em mais de um ponto.
Passo 4
Para concluir que X é constante quase certamente, note que a única forma de uma medida de probabilidade dar 0 ou 1 para todo conjunto é ser um átomo único de massa 1. Formalmente, existe um ponto
tal que
Isso decorre do fato de que, se para cada
tivéssemos
, a soma de várias massas 1 ultrapassaria 1, o que é impossível. Portanto só um ponto pode ter massa 1.
Passo 5
Concluímos que X assume um valor fixo
com probabilidade 1, isto é, X é constante quase certamente.
Resposta
X é constante com probabilidade 1, ou seja, existe
tal que
.