Dado uma variável aleatória X que é independente de si própria. Mostre que X é constante com probabilidade 1.

Passo 1

O enunciado diz que a v.a. X é independente de si própria. O conteúdo é independência de variáveis aleatórias e vamos precisar usar a definição de independência para v.a. idênticas.

Passo 2

Pela definição, X e X são independentes significa que, para quaisquer conjuntos mensuráveis A e B, vale
Pl(Xin A,;Xin Br) ,=,P(Xin A),P(Xin B)
Em particular, tomando A=B, obtemos
P(Xin A) ,=,Pl(Xin A,;Xin Ar) ,=,P(Xin A)^2
Logo, para todo A, temos P(X\in A) é raiz de p=p^2, isto é, P(Xin A)in0,1.

Passo 3

Isso mostra que a medida de probabilidade induzida por X só assume valores 0 ou 1 em qualquer evento. Em outras palavras, a lei de X é um produto problema-determinístico, não podendo distribuir massa em mais de um ponto.

Passo 4

Para concluir que X é constante quase certamente, note que a única forma de uma medida de probabilidade dar 0 ou 1 para todo conjunto é ser um átomo único de massa 1. Formalmente, existe um ponto cinR tal que
P(X=c)=1
Isso decorre do fato de que, se para cada xneq c tivéssemos P(X=x)=1, a soma de várias massas 1 ultrapassaria 1, o que é impossível. Portanto só um ponto pode ter massa 1.

Passo 5

Concluímos que X assume um valor fixo c com probabilidade 1, isto é, X é constante quase certamente.

Resposta

X é constante com probabilidade 1, ou seja, existe c tal que P(X=c)=1.

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