• 6 - (Durrett) Dado X uma variável aleatória em Omega e sigma(X) a sigma-álgebra gerada por X.
    Dado Y uma variável aleatória em Omega. Prove que Y é mensurável com respeito a sigma(X) se e somente se existe uma função mensurável f: R R tal que Y=f(X).
    Dica: Reduza ao caso em que Y >= 0.
    Mostre que
    Bn, m, onde R é um conjunto de Borel em fn(x)=m 2^-n. Agora deixe x in Bn, m para fn(x).
    Mostre que e converge pontualmente f(x) deixe ser seu limite.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um espaço de probabilidade (Ω,𝓕) e duas variáveis aleatórias X e Y, temos Y mensurável em σ(X) se e somente se existe f:ℝ→ℝ mensurável tal que Y=f∘X. O conteúdo principal envolve σ-álgebra gerada por uma variável aleatória, composição de funções mensuráveis e aproximação por funções simples.

Passo 2

Primeiro, mostramos a direção fácil: se existe f mensurável tal que Y(ω)=f(X(ω)), então Y é σ(X)-mensurável, pois a composição de funções mensuráveis é mensurável. De fato, para qualquer Borel B⊆ℝ temos (f∘X){-1}(B)=X{-1}(f^{-1}(B))∈σ(X).

Passo 3

Para a recíproca, reduzimos ao caso Y≥0. Se Y não for não negativa, escrevemos Y=Y+−Y- e tratamos separadamente Y^+ e Y^-, construindo funções f^+ e f^- mensuráveis e definimos f=f+−f-.

Passo 4

Supondo Y≥0 e σ(X)-mensurável, para cada n∈ℕ e m∈ℕ definimos o conjunto em Ω
Cn,m=ω:m2^-n≤Y(ω)<(m+1)2^-n
Como Y é σ(X)-mensurável, C_{n,m}∈σ(X). Logo existe Borel B_{n,m} em ℝ tal que
Cn,m=X^-1(Bn,m)

Passo 5

Definimos então a função simples f_n:ℝ→ℝ por
fn(x)=summ m2^-n1Bn,m(x)
Cada f_n é mensurável pois cada B_{n,m} é Borel.

Passo 6

Observamos que para ω∈Ω com X(ω)∈B_{n,m} vale Y(ω)∈[m2{-n},(m+1)2{-n}), logo
0<= Y(ω)-fn(X(ω))<2^-n
Assim f_n∘X converge pontualmente para Y com erro ≤2^{-n}.

Passo 7

Como cada f_n é mensurável e o limite pontual de funções mensuráveis é mensurável, definimos
f(x)=limntoinftyfn(x)
e concluímos que f é mensurável e Y(ω)=f(X(ω)).

Passo 8

Com isso mostramos a outra direção. Portanto Y é σ(X)-mensurável se e somente se existe f mensurável tal que Y=f(X).

Resposta

Y é σ(X)-mensurável ↔ ∃ f:ℝ→ℝ mensurável com Y=f(X), construído como limite pontual das aproximações simples f_n.

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