- 6 - (Durrett) Dado X uma variável aleatória em
e
a
-álgebra gerada por
.
Dado Y uma variável aleatória em
. Prove que
é mensurável com respeito a
se e somente se existe uma função mensurável
tal que
.
Dica: Reduza ao caso em que
.
Mostre que
, onde
é um conjunto de Borel em
. Agora deixe
para
.
Mostre que
converge pontualmente
deixe
ser seu limite.
Dado Y uma variável aleatória em
Dica: Reduza ao caso em que
Mostre que
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dado um espaço de probabilidade (Ω,𝓕) e duas variáveis aleatórias X e Y, temos Y mensurável em σ(X) se e somente se existe f:ℝ→ℝ mensurável tal que Y=f∘X. O conteúdo principal envolve σ-álgebra gerada por uma variável aleatória, composição de funções mensuráveis e aproximação por funções simples.
Passo 2
Primeiro, mostramos a direção fácil: se existe f mensurável tal que Y(ω)=f(X(ω)), então Y é σ(X)-mensurável, pois a composição de funções mensuráveis é mensurável. De fato, para qualquer Borel B⊆ℝ temos (f∘X){-1}(B)=X{-1}(f^{-1}(B))∈σ(X).
Passo 3
Para a recíproca, reduzimos ao caso Y≥0. Se Y não for não negativa, escrevemos Y=Y+−Y- e tratamos separadamente Y^+ e Y^-, construindo funções f^+ e f^- mensuráveis e definimos f=f+−f-.
Passo 4
Supondo Y≥0 e σ(X)-mensurável, para cada n∈ℕ e m∈ℕ definimos o conjunto em Ω
Como Y é σ(X)-mensurável, C_{n,m}∈σ(X). Logo existe Borel B_{n,m} em ℝ tal que
Passo 5
Definimos então a função simples f_n:ℝ→ℝ por
Cada f_n é mensurável pois cada B_{n,m} é Borel.
Passo 6
Observamos que para ω∈Ω com X(ω)∈B_{n,m} vale Y(ω)∈[m2{-n},(m+1)2{-n}), logo
Assim f_n∘X converge pontualmente para Y com erro ≤2^{-n}.
Passo 7
Como cada f_n é mensurável e o limite pontual de funções mensuráveis é mensurável, definimos
e concluímos que f é mensurável e Y(ω)=f(X(ω)).
Passo 8
Com isso mostramos a outra direção. Portanto Y é σ(X)-mensurável se e somente se existe f mensurável tal que Y=f(X).
Resposta
Y é σ(X)-mensurável ↔ ∃ f:ℝ→ℝ mensurável com Y=f(X), construído como limite pontual das aproximações simples f_n.