Dado
, e deixe
ser uma sequência não negativa de variáveis aleatórias independentes tais que
para todo
. Prove que com probabilidade 1:
Passo 1
O enunciado considera uma sequência não negativa de variáveis aleatórias independentes
com a propriedade
para todo
, e pede para mostrar que
quase certamente. O conteúdo principal é o lema de Borel–Cantelli para eventos independentes.
Passo 2
Definimos para cada
o evento
Pelo enunciado,
para todo
.
Passo 3
Como
independentemente de
, a série das probabilidades diverge:
Além disso, os eventos
são independentes.
Passo 4
Pelo segundo lema de Borel–Cantelli, se
são independentes e
, então
ou seja, quase certamente há infinitos
tais que
.
Passo 5
Sempre que houver infinitos
com
, a soma
excede a soma infinita de vários termos maiores que
, isto é,
Logo, com probabilidade 1 a soma diverge.
Passo 6
Combinando tudo, quase certamente
ocorre infinitas vezes, forçando
Resposta
Com probabilidade 1, a série
diverge, isto é,