Dado epsilon>0, e deixe Xi ser uma sequência não negativa de variáveis aleatórias independentes tais que i para todo sumi=1^infty Xi=infty . Prove que com probabilidade 1:

Passo 1

O enunciado considera uma sequência não negativa de variáveis aleatórias independentes Xi com a propriedade P(Xi>deepsilon>0 para todo i, e pede para mostrar que sumi=1^infty Xi=infty quase certamente. O conteúdo principal é o lema de Borel–Cantelli para eventos independentes.

Passo 2

Definimos para cada i o evento
Ai=Xi>de
Pelo enunciado, P(Ai)=P(Xi>deepsilon para todo i.

Passo 3

Como P(Ai)>epsilon>0 independentemente de i, a série das probabilidades diverge:
sumi=1^inftyP(Ai)>=sumi=1^inftyepsilon=infty
Além disso, os eventos Ai são independentes.

Passo 4

Pelo segundo lema de Borel–Cantelli, se (Ai) são independentes e sumP(Ai)=infty, então
P(Ai ocorre io)=1,
ou seja, quase certamente há infinitos i tais que Xi>de.

Passo 5

Sempre que houver infinitos i com Xi>de, a soma sum Xi excede a soma infinita de vários termos maiores que de, isto é,
sumi=1^infty Xi>=sumi:Xi>de
Logo, com probabilidade 1 a soma diverge.

Passo 6

Combinando tudo, quase certamente Xi>de ocorre infinitas vezes, forçando
sumi=1^infty Xi=infty

Resposta

Com probabilidade 1, a série sumi=1^infty Xi diverge, isto é,
sumi=1^infty Xi=infty

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