a) Dizemos que uma variável não negativa X >= 0 tem a propriedade de perda de memória se P(X >= t mid X >= s)=P(X >= t >= s) para todo 0.
b) Mostre que as variáveis aleatórias exponenciais têm a propriedade da memória de falta.
c) Prove que qualquer variável aleatória nãonegativa que tenha a propriedade falta de memória tenha distribuição exponencial para algum parâmetro lambda>0. (Isso é mais fácil se você assumir que a função G(x)= P(X >= x) é diferenciável em [0, infty), assim você pode fazer essa suposição se você não conseguir um argumento mais geral).

Passo 1

O enunciado pede para definir a propriedade de falta de memória para uma variável aleatória não-negativa, mostrar que a Exponencial satisfaz essa propriedade e então provar que toda variável não-negativa com falta de memória só pode ser Exponencial.

Passo 2

Vamos primeiro lembrar que a função de sobrevivência de uma variável aleatória não-negativa é definida por
G(x)=P(X>= x)
e a propriedade de falta de memória equivale a
P(X>= s+tmid X>= s)=P(X>= t), s,t>=0,
o que em termos de G vira
G(s+t)G(s)=G(t), G(0)=1

Passo 3

Para mostrar que XsimExp(lambda) é memória-falta, note que sua função de sobrevivência é G(x)=e^-lambda x. Logo
P(X>= s+tmid X>= s)=e^-lambda(s+t)e^-lambda s=e^-lambda t=G(t),
demonstrando a propriedade.

Passo 4

Agora seja X>=0 memória-falta e definamos G(x)=P(X>= x). A condição dá a equação funcional
G(s+t)=G(s),G(t), G(0)=1
Assumindo que G é diferenciável, podemos tomar logaritmo: definimos f(x)=ln G(x), então
f(s+t)=f(s)+f(t),
uma função aditiva contínua. Pela teoria de Cauchy, a única solução contínua é f(x)=kx para alguma constante k.

Passo 5

Como G(0)=1 temos f(0)=0, e como G(x) é não-crescente precisa ser k<=0. Logo f(x)= -lambda x com lambda=-k>0. Voltando,
G(x)=e^f(x)=e^-lambda x,
e a densidade é
fX(x)=-G'(x)=lambda e^-lambda x, \nisto é, X é Exponencial de parâmetro lambda>0.

Resposta

As únicas variáveis aleatórias não-negativas com propriedade de falta de memória são as Exponenciais, com função de sobrevivência G(x)=e^-lambda x e densidade f(x)=lambda e^-lambda x para algum lambda>0.

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