a) Dizemos que uma variável não negativa
tem a propriedade de perda de memória se
para todo
.
b) Mostre que as variáveis aleatórias exponenciais têm a propriedade da memória de falta.
c) Prove que qualquer variável aleatória nãonegativa que tenha a propriedade falta de memória tenha distribuição exponencial para algum parâmetro
. (Isso é mais fácil se você assumir que a função
é diferenciável em
, assim você pode fazer essa suposição se você não conseguir um argumento mais geral).
b) Mostre que as variáveis aleatórias exponenciais têm a propriedade da memória de falta.
c) Prove que qualquer variável aleatória nãonegativa que tenha a propriedade falta de memória tenha distribuição exponencial para algum parâmetro
Passo 1
O enunciado pede para definir a propriedade de falta de memória para uma variável aleatória não-negativa, mostrar que a Exponencial satisfaz essa propriedade e então provar que toda variável não-negativa com falta de memória só pode ser Exponencial.
Passo 2
Vamos primeiro lembrar que a função de sobrevivência de uma variável aleatória não-negativa é definida por
e a propriedade de falta de memória equivale a
o que em termos de
vira
Passo 3
Para mostrar que
é memória-falta, note que sua função de sobrevivência é
. Logo
demonstrando a propriedade.
Passo 4
Agora seja
memória-falta e definamos
. A condição dá a equação funcional
Assumindo que
é diferenciável, podemos tomar logaritmo: definimos
, então
uma função aditiva contínua. Pela teoria de Cauchy, a única solução contínua é
para alguma constante
.
Passo 5
Como
temos
, e como
é não-crescente precisa ser
. Logo
com
. Voltando,
e a densidade é
Resposta
As únicas variáveis aleatórias não-negativas com propriedade de falta de memória são as Exponenciais, com função de sobrevivência
e densidade
para algum
.