Uma formiga efetua pequenos deslocamentos sobre o plano x y. As componentes (x, y) de quatro deslocamentos consecutivos são (todas em cm): (-80,-70), (-140,-20) e bx. O deslocamento total tem componentes cy. a) Quanto valem x e ? b) Qual é o módulo e o ângulo (em relação ao sentido do eixo ) do vetor resultante?

Passo 1

A questão dá quatro deslocamentos no plano xy: (30,40), (b_x,−70), (−20,c_y) e (−80,−70) e informa que o deslocamento total é (−140,−20). O conteúdo aqui é soma de vetores por componentes: a soma das componentes x e das componentes y de cada vetor deve coincidir com as componentes do vetor resultante.

Passo 2

Vamos achar b_x somando as componentes x:
30 + bx + (-20) + (-80) = -140
Isso dá
bx + (30 - 20 - 80) = -140 bx - 70 = -140 bx = -140 + 70 = -70

Passo 3

Agora somamos as componentes y para obter c_y:
40 + (-70) + cy + (-70) = -20
Logo,
cy + (40 - 70 - 70) = -20 cy -100 = -20 cy = -20 +100 = 80

Passo 4

O vetor resultante é R = (−140, −20). Para o módulo usamos a fórmula do comprimento de um vetor:
|R| = raiz(-140)^2 + (-20)^2 = raiz19600 + 400 = raiz20000 = 100raiz2 approx 141,4 cm

Passo 5

Para o ângulo θ em relação ao eixo x positivo calculamos
tantheta = yx = -20-140 = 17 Rightarrow theta0 = arctanl(tfrac17r) approx 8,13^circ
Como R está no terceiro quadrante (x<0 e y<0), somamos 180°:
theta = 180^circ + 8,13^circ approx 188,13^circ

Resposta

b_x = -70\ cm,\quad c_y = 80\ cm.\newline |R| = 100\sqrt{2}\ cm \approx 141{,}4\ cm,\quad \theta \approx 188{,}1^\circ.

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