Considere duas ondas eletromagnéticas esféricas cujas componentes elétricas são dadas por:
em que
. Em ambos casos, mostre que
é solução da equação de onda eletromagnética em coordenadas esféricas e encontre o campo magnético associado a cada uma delas.
Dica: A divergência e o operador laplaciano em coordenadas esféricas são dados por:
respectivamente.
Dica: A divergência e o operador laplaciano em coordenadas esféricas são dados por:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo elétrico dado é solução de
em coordenadas esféricas e, em seguida, obter o campo magnético associado em cada caso (onda divergente e onda convergente). Vamos usar a forma explícita de
Passo 2
Escrevemos a única componente não nula:
Para verificar a equação de onda, calculamos separadamente:
-
usando
ainda que, como não há dependência em
e
, basta aplicar
-
calculando diretamente as derivadas de e .
Ao final vê-se que
como exigido.
Passo 3
Agora vamos achar
usando a lei de Faraday em vácuo:
Em coordenadas esféricas, as componentes do rotacional para
são:
Calculamos essas derivadas substituindo
e obtemos expressões em termos de
e
.
Passo 4
Integramos em
usando
e sabendo que
e
.
Como , introduzimos o fator
e unimos os termos. Para a onda divergente (argumento
) obtemos componentes em
e
.
Como
Passo 5
Repetimos o mesmo procedimento para a onda convergente, que difere apenas por trocar
por
e pelos sinais resultantes na integração temporal. Assim chegamos ao campo magnético para cada caso.
Resposta
Para a onda divergente (argumento
):
Para a onda convergente (argumento
):