Considere duas ondas eletromagnéticas esféricas cujas componentes elétricas são dadas por:
E(r, theta, phi, t)=A sin thetar[cos (k r-omega t)-1k r sin (k r-omega t)] phi,
em que c=omega / k. Em ambos casos, mostre que E é solução da equação de onda eletromagnética em coordenadas esféricas e encontre o campo magnético associado a cada uma delas.
Dica: A divergência e o operador laplaciano em coordenadas esféricas são dados por:
nabla cdot A(r, theta, phi) & =1r^2 partial(r^2 Ar)partial r+1r sin theta partialpartial theta(Atheta sin theta)+1r sin theta partial Aphipartial phi nabla^2 psi(r, theta, phi) & =1r^2 partialpartial r(r^2 partial psipartial r)+1r^2 sin theta partialpartial theta(sin theta partial psipartial theta)+1r^2 sin ^2 theta partial^2 psipartial phi^2
respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo elétrico dado é solução de

em coordenadas esféricas e, em seguida, obter o campo magnético associado em cada caso (onda divergente e onda convergente). Vamos usar a forma explícita de nabla^2vec E-1c^2partial^2vec Epartial t^2=0n e de nablacdot em esféricas, além de nabla^2.

Passo 2

Escrevemos a única componente não nula:
Ephi(r,theta,t)=Asinthetarl[cos(kr-omega t)-1krsin(kr-omega t)r]
Para verificar a equação de onda, calculamos separadamente:
  1. nabla^2Ephi usando
(nabla^2vec E)phi=nabla^2(Ephi)-Ephir^2sin^2theta,
ainda que, como não há dependência em phi e Er=Etheta=0, basta aplicar
nabla^2Ephi=1r^2partialpartial rl(r^2partial Ephipartial rr)+1r^2sinthetapartialpartialthetal(sinthetapartial Ephipartialthetar)
  1. partial^2Ephi/partial t^2 calculando diretamente as derivadas de cos(kr-omega t) e sin(kr-omega t).
    Ao final vê-se que
nabla^2Ephi-1c^2partial^2Ephipartial t^2=0,
como exigido.

Passo 3

Agora vamos achar vec B usando a lei de Faraday em vácuo:
nablatimesvec E=-partialvec Bpartial t
Em coordenadas esféricas, as componentes do rotacional para vec E=(0,0,Ephi) são:
(nablatimesvec E)r=1rsinthetapartialpartialtheta(Ephisintheta),
(nablatimesvec E)theta=-1rpartialpartial r(rEphi),
(nablatimesvec E)phi=0
Calculamos essas derivadas substituindo Ephi(r,theta,t) e obtemos expressões em termos de cos(kr-omega t) e sin(kr-omega t).

Passo 4

Integramos em t usando
vec B(r,theta,t)=-integral(nablatimesvec E),dt
e sabendo que integralcos(kr-omega t),dt=tfrac1omegasin(kr-omega t) e integralsin(kr-omega t),dt=-tfrac1omegacos(kr-omega t).
Como omega=ck, introduzimos o fator 1/omega=1/(ck) e unimos os termos. Para a onda divergente (argumento kr-omega t) obtemos componentes em hat r e hattheta.

Passo 5

Repetimos o mesmo procedimento para a onda convergente, que difere apenas por trocar kr-omega t por kr+omega t e pelos sinais resultantes na integração temporal. Assim chegamos ao campo magnético para cada caso.

Resposta

Para a onda divergente (argumento kr-omega t):
vec Brm out(r,theta,t)=Acgl[2costhetar^2l(sin(kr-omega t)+tfrac1krcos(kr-omega t)r),hat r +sinthetarl(cos(kr-omega t)-tfrac1krsin(kr-omega t)r),hatthetagr]
Para a onda convergente (argumento kr+omega t):
vec Brm in(r,theta,t)=Acgl[2costhetar^2l(sin(kr+omega t)-tfrac1krcos(kr+omega t)r),hat r +sinthetarl(-cos(kr+omega t)-tfrac1krsin(kr+omega t)r),hatthetagr]

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