Considere duas ondas eletromagnéticas viajando no vácuo. Os campos elétricos dessas ondas são descritos, respectivamente, por:
E1(x, t)=E0 sin (k x-omega t) jmath e E2(x, t)=E0 cos (k x-omega t) k
Mostre que o campo elétrico resultante satisfaz a equação de onda com c=omegak;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão apresenta duas ondas eletromagnéticas que estão viajando no vácuo, cada uma com seu campo elétrico descrito por equações matemáticas. Nosso objetivo é mostrar que o campo elétrico resultante dessas duas ondas satisfaz a equação de onda, onde a velocidade da onda $ c $ é igual a $ \frac{\omega}{k} $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas eletromagnéticas e a equação de onda associada a elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas ondas eletromagnéticas fornecidas:
E1(x, t) = E0 sin (k x - omega t) jmath
E2(x, t) = E0 cos (k x - omega t) k
Aqui, $ E_{0} $ é a amplitude das ondas, $ k $ é o número de onda, $ \omega $ é a frequência angular, $ x $ é a posição, $ t $ é o tempo, e $ \hat{\jmath} $ e $ \hat{k} $ são os vetores unitários nas direções y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos somar os dois campos elétricos para encontrar o campo resultante $ \vec{E}(x, t) $:
E(x, t)

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que esse campo elétrico resultante satisfaz a equação de onda. A equação de onda para um campo elétrico em uma dimensão é dada por:
partial^2 Epartial x^2 = 1c^2 partial^2 Epartial t^2
Nosso objetivo é verificar essa igualdade para o $ \vec{E}(x, t) $ que encontramos, assumindo que $ c = \frac{\omega}{k} $.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais do campo elétrico resultante em relação a $ x $ e $ t $.
Primeiro, a segunda derivada em relação a $ x $:
x
t
Agora, a segunda derivada em relação a $ t $:
x
partial Epartial x = E0 k cos(kx - omega t) jmath - E0 k sin(kx - omega t) k

Passo 6

Substituindo essas derivadas na equação de onda:
- k^2 E = 1c^2 (-omega^2 E)
Simplificando:
- k^2 E = -omega^2c^2 E
Podemos cancelar o sinal negativo e o $ \vec{E} $ que não é zero:
E

Passo 7

Agora, rearranjando para encontrar $ c $:
c

Resposta

Então, mostramos que o campo elétrico resultante satisfaz a equação de onda quando $ c = \frac{\omega}{k} $.

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