Considere duas ondas eletromagnéticas viajando no vácuo. Os campos elétricos dessas ondas são descritos, respectivamente, por:
Mostre que o campo elétrico resultante satisfaz a equação de onda
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão apresenta duas ondas eletromagnéticas que estão viajando no vácuo, cada uma com seu campo elétrico descrito por equações matemáticas. Nosso objetivo é mostrar que o campo elétrico resultante dessas duas ondas satisfaz a equação de onda, onde a velocidade da onda $ c $ é igual a $ \frac{\omega}{k} $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas eletromagnéticas e a equação de onda associada a elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas ondas eletromagnéticas fornecidas:
Aqui, $ E_{0} $ é a amplitude das ondas, $ k $ é o número de onda, $ \omega $ é a frequência angular, $ x $ é a posição, $ t $ é o tempo, e $ \hat{\jmath} $ e $ \hat{k} $ são os vetores unitários nas direções y e z, respectivamente.
Passo 3
Vamos somar os dois campos elétricos para encontrar o campo resultante $ \vec{E}(x, t) $:
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que esse campo elétrico resultante satisfaz a equação de onda. A equação de onda para um campo elétrico em uma dimensão é dada por:
Nosso objetivo é verificar essa igualdade para o $ \vec{E}(x, t) $ que encontramos, assumindo que $ c = \frac{\omega}{k} $.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais do campo elétrico resultante em relação a $ x $ e $ t $.
Primeiro, a segunda derivada em relação a $ x $:
Agora, a segunda derivada em relação a $ t $:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na equação de onda:
Simplificando:
Podemos cancelar o sinal negativo e o $ \vec{E} $ que não é zero:
Passo 7
Agora, rearranjando para encontrar $ c $:
Resposta
Então, mostramos que o campo elétrico resultante satisfaz a equação de onda quando $ c = \frac{\omega}{k} $.